线性代数之线性方程组(5)

X+Y=8

2X+4Y=20

求解以上方程组，使用矩阵初等变换来算，

（这叫增广系数矩阵，）

第一行*-2加到第二行

第二行*-1/2加到第一行，第二行再除以2得

即X=6

Y=2

方程组可以用矩阵表示或者向量表示 ，

向量表示：

X+Y=

系数矩阵与增广系数矩阵的秩与未知量的个数相等时，有唯一解

A= r(A)=3

=r()=3，其未知数有三个

解得唯一解:

x1=1

x2=2

x3=3

r(A)==2<3则x1,x2,x3有无穷个数

x1+x3=5

x2+x3=9

x1+x3=3

x2=4

0=1

r(A)=2   ,=3

系数矩阵与增广系数矩阵不相等，所以无解

如何解?

1) 写出方程组的增广系数矩阵

2) 只做初等行变换，化为阶梯型

3)看系数矩阵的秩和增广系数矩阵的秩是否相等。即系数矩阵的非零行行数与增广系数矩阵的非零行行数是否相等。如果 相等，则有唯一解，如果相等且小于未知数的量，则有无穷解，如果 两个不相等，则无解。

齐次方程组

r(A)= =n时，有唯一的零解

r(A)<n时，有非零解

方程个数<未知数个数，则有非零解。

方程个数等于未知数个数，要有非零解则 A的行列式=0(=0)