Hdu 1394——Minimum Inversion Number 线段树应用（自己的详细分析）

Minimum Inversion Number

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Problem Description

The inversion number of a given number sequence a1, a2, ..., an is the number of pairs (ai, aj) that satisfy i < j and ai > aj.

For a given sequence of numbers a1, a2, ..., an, if we move the first m >= 0 numbers to the end of the seqence, we will obtain another sequence. There are totally n such sequences as the following:

a1, a2, ..., an-1, an (where m = 0 - the initial seqence)
a2, a3, ..., an, a1 (where m = 1)
a3, a4, ..., an, a1, a2 (where m = 2)
...
an, a1, a2, ..., an-1 (where m = n-1)

You are asked to write a program to find the minimum inversion number out of the above sequences.

 

Input

The input consists of a number of test cases. Each case consists of two lines: the first line contains a positive integer n (n <= 5000); the next line contains a permutation of the n integers from 0 to n-1.

 

Output

For each case, output the minimum inversion number on a single line.

 

Sample Input

10
1 3 6 9 0 8 5 7 4 2

 

Sample Output

16

最近一直在学线段树，跟着大神的讲义。被这道题卡住了（尽管写的爆搜也过了，数据量不大），查了资料之后想通了。为了印象深刻所以写下来，希望能让更多的童鞋明白。

分析：这道题的难点主要有两个：①：怎么求最初的逆序数（逆序数的定义不说了）    ②知道最初的逆序数之后怎么递推出其它的从而求出最小值。 

②比较容易理解，先说②：

比如你有五个数（记住只能是由0-4组成的）  分别为：3 0 2 4 1    如果把3移到最后一位，增加的逆序数和减少的逆序数分别是多少？   

无论后面四个数的顺序是怎样的，是不是一定有一个数（4）比3大，有三个数（0，1，2）比3小，把3移到最后一位的过程中，是不是增加了一个逆序数的同时，减少了三个逆序数？

如果是n个数呢？  a1,a2,a3.....an   如果把a1移到最后一位，是不是一定是减少了a1个逆序数，同时增加了n-1-a1个逆序数。也就是说，设原来逆序数个数为sum1,当前为sum2,那么就有sum2=sum1+n-1-ai-ai

 

接下来说①，用线段树求最初的逆序数。

首先你必须要明白的一点是，线段树维护的区间代表什么。要注意，这里的叶节点代表的不是数组下标，而是数本身！   

这样说可能不是很容易理解。

这么说吧，如果用爆搜，你会怎么求逆序数的个数？还是原来的例子，3 0 2 4 1，是不是依次记录在3前面比3大的数，再记录在0前面比0大的数...最后再加起来？

线段树也是一个道理，它需要维护的是，这个区间上，作为逆序的那个数，一共被用了多少次。

还是举原来的例子  3 0 2 4 1，一步一步来。

我们首先建立一个空树，每个节点都是0.

然后更新，首先输入3，找到所有包含3的区间，把它加为1.

接着输入0。首先是查询[0,4]这个区间，发现比0大的数就是3一个，所以sum+1。然后更新，把包括了0的区间+1.

接着输入2，先查询[2,4]这个区间，发现只有3这一个数，sum+1。然后更新，把包含了2的区间加1，也就是说，要是接下来有查询[2,4]这个区间，结果就是2.

然后输入4，查询结果肯定是0.然后更新包含4的区间。

最后输入1.查询[1,4]区间，发现结果为3，sum+3，然后更新。  

代码是最初照着大神的代码写的 ，如下：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <ctype.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>

using namespace std;

#define MAXN 5010
#define INF 1000000
#define MOD 23333

#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1   //也就是rt*2（+1）

int sum[MAXN<<2];

void pushUp(int rt)
{
    sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];//左二子和右儿子的和，向上更新
}

void build(int l,int r,int rt)
{
    sum[rt]=0;
    if(l==r)
        return;
    int m=(l+r)/2;
    build(lson);
    build(rson);
}

void update(int p,int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){
        sum[rt]++;
        return;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(p<=m)
        update(p,lson);
    else
        update(p,rson);
    pushUp(rt);
}

int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
    if(L<=l&&R>=r)
        return sum[rt];
    int m=(l+r)>>1;
    int ret=0;
    if(L<=m)
        ret+=query(L,R,lson);
    if(R>m)
        ret+=query(L,R,rson);
    return ret;
}

int a[MAXN];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        build(0,n-1,1);
        int ret,sum=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",a+i);
            sum+=query(a[i],n-1,0,n-1,1);
            update(a[i],0,n-1,1);
        }
        ret=sum;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            sum+=n-2*a[i]-1;
            ret=min(ret,sum);
        }
        printf("%d\n",ret);
    }
}