7、投影奇异谱分析（SSA）与迭代斜交奇异谱分析（O - SSA）详解

投影奇异谱分析（SSA）与迭代斜交奇异谱分析（O - SSA）详解

投影奇异谱分析（SSA）

投影相关性质

在进行不同组的投影时，由于投影是在子空间整体上进行的。投影后得到的矩阵 (X^ ) 的秩 (d^ ) 不能大于原矩阵 (X) 的秩，且不能小于 (rankX-(q + p))。

当使用投影来提取时间序列的特定分量时，通常需要对该分量有一定的先验知识。例如，要提取正弦波，需要知道其周期；提取指数趋势，需要知道其增长率。不过，提取多项式趋势是个例外，只需要假设多项式的次数就能确定其轨迹空间。

此外，当时间序列存在缺失值时，带投影的 SSA 也能适用。

适用的时间序列

对于带投影的 SSA，已知序列分量的轨迹矩阵 (Y) 应与投影相匹配。具体来说，对于列投影有 (\Pi_{col}(Y) = Y)，行投影有 (\Pi_{row}(Y) = Y)，双重投影有 (\Pi_{both}(Y) = Y)。

例如，指数分量 (s_n = \mu^n) 的轨迹空间张成 ((1, \mu, \cdots, \mu^L)^T)，线性函数 (s_n = an + b) 的轨迹空间张成 ((1, 1, \cdots, 1)^T) 和 ((1, 2, \cdots, L)^T)。

下面给出双重投影时 (\Pi_{both}(X) = X) 成立的充分条件：
设序列 (Y^{(m)})（(m = 1, 2)）由最小阶数为 (r_m) 的线性递归关系（LRR）控制，(Y^{(m)}) 是它们的轨迹矩阵，({\mu_j; j = 1, \cdots, s}) 是两个序列