1、奇异谱分析（SSA）综述与应用指南

奇异谱分析（SSA）综述与应用指南

1. 奇异谱分析简介

奇异谱分析（SSA）是一种广为人知的时间序列分析和预测方法。近期，它也被用于分析数字图像和其他不一定是平面或矩形形式且可能包含缺失值的对象。SSA 具有多用途，自然地结合了无模型和参数化技术，这使其成为解决不同领域中各种问题的极具吸引力的方法，尤其在时间序列和数字图像相关领域。

SSA 可用于时间序列的多个方面，从非参数时间序列分解和滤波到参数估计、预测、填补缺失值以及检测变化点等，其中许多技术也可扩展到数字图像分析。与大多数分析具有趋势和/或周期性的时间序列的方法不同，SSA 不需要趋势模型，也无需事先了解周期分量的数量及其频率。此外，周期性可以以不同方式进行调制，因此在应用 SSA 时，无需假定和考虑模型的类型（加法或乘法）。

2. SSA 方法的通用方案

SSA 是基于依次应用四个步骤的一系列方法的通用术语，具体步骤如下：
- 步骤 1：嵌入（Embedding）
- 构建所谓的轨迹矩阵 (X = T(X))，其中 (T) 是将对象 (X) 转换为具有特定结构的 (L×K) 矩阵的线性映射。所有可能的轨迹矩阵集合记为 (M_{L,K}^{(H)})，字母 (H) 强调这些矩阵具有与 Hankel 相关的结构。
- 例如，在一维 SSA（即用于分析一维实值时间序列的 SSA）中，(X = (x_1, \ldots, x_N))，(T = T_{1D - SSA}) 将 (R^N) 映射到具有相同反对角线值的 (L×K) Hankel 矩阵空间，其中 (N) 是序列长度，(L) 是窗口长度（参数），(K = N - L + 1)：