5、一维时间序列的奇异谱分析（SSA）详解

一维时间序列的奇异谱分析（SSA）详解

1. 引言

奇异谱分析（SSA）是一种强大的时间序列分析方法，可用于分析一维数据。在开始深入探讨之前，我们先了解一些基本概念。SSA 的输入是一个由 $N$ 个实数组成的序列 $X_N = (x_1, \ldots, x_N)$，可将其视为时间序列。

2. 基础概念

• 嵌入操作与轨迹矩阵 ：
  • 设 $L$（$1 < L < N$）为窗口长度，$K = N - L + 1$。构建 $L$ - 滞后向量 $X_i = (x_i, \ldots, x_{i + L - 1})^T$，$i = 1, \ldots, K$。
  • 定义嵌入算子 $T = T_{SSA}$，将时间序列映射到矩阵 $X = [X_1 : \ldots : X_K]$，此矩阵被称为轨迹（或 $L$ - 轨迹）矩阵。
  • 轨迹矩阵具有两个重要性质：
    • 矩阵的行和列都是原始序列的子序列。
    • 矩阵的反对角线上元素相等，即矩阵为 Hankel 矩阵。
  • 嵌入算子 $T_{SSA} : R^N \to M^{(H)}_{L,K}$ 在时间序列和 $L \times K$ 的 Hankel 矩阵集合之间建立了一一对应关系，因此存在逆算子 $T^{-1}$，可将任何 $L \times K$ 的 Hankel 矩阵转换为长度为 $N$ 的序列。
• Hank