病态条件判断与方程求解分析

26、由R.V. Andree提出的这个问题展示了病态条件（即系数的微小变化会导致解的巨大变化）。使用左除运算符证明方程组x + 5.000y = 17.0，1.5x + 7.501y = 25.503的解为x = 2，y = 3。计算残差。现在将第二个方程右侧的项改为25.501，变化约为1/12000，求出新的解和残差。解会完全不同。也尝试将该项改为25.502、25.504等。如果系数存在实验误差，那么解显然毫无意义。使用rcond函数求出条件估计值，使用det函数计算行列式。这些值能否证实病态条件？另一种预测病态条件的方法是对系数进行敏感性分析：依次将所有系数改变相同的小百分比，观察这对解有什么影响。

病态条件判断与分析步骤

本题需按步骤求解方程组、计算残差、改变方程右侧项并重新求解、计算条件估计值和行列式，以判断是否为病态条件，还可通过敏感性分析预测病态条件。具体计算可借助MATLAB实现，步骤如下：

1. 求解方程组并计算残差

使用左除运算符求解以下方程组：

$$
\begin{cases}
x + 5.000y = 17.0 \
1.5x + 7.501y = 25.503
\end{cases}
$$

得到解：

• $ x = 2 $
• $ y = 3 $

并计算残差。

2. 改变方程右侧项并重新求解

将第二个方程右侧项改为 25.501 ，重新求解并计算残差。

3. 进一步改变右侧项重复求解

尝试将右侧项改为 25.502 、 25.504 等，重复求解和计算残差。

4. 计算条件估计值和行列式

• 使用 rcond 函数求条件估计值。
• 使用 det 函数计算行列式。
• 根据结果判断是否为病态条件。

5. 敏感性分析

对系数进行敏感性分析，依次改变系数相同小百分比，观察对解的影响。

27、使用稀疏矩阵来表示莱斯利矩阵。莱斯利矩阵是一个 3x3 的矩阵，其非零元素为：L(1,2) = 9，L(1,3) = 12，L(2,1) = 1/3，L(3,2) = 0.5。通过预测 24 个月内兔子的种群数量来测试你的表示方法，初始种群向量为一个老兔子，没有其他兔子。

首先，我们需要将莱斯利矩阵表示为稀疏矩阵。在 MATLAB 中，可以使用 sparse 函数来创建稀疏矩阵。以下是实现该功能的 MATLAB 代码：

% 定义莱斯利矩阵的参数
n = 3;
L = sparse(n,n); % 创建一个3x3的稀疏矩阵
L(1,2) = 9;
L(1,3) = 12;
L(2,1) = 1/3;
L(3,2) = 0.5;

% 初始化种群向量
x = sparse([0 0 1]'); % 初始种群向量，一个老兔子，没有其他兔子

% 预测24个月内的种群数量
for t = 1:24
    x = L * x; % 使用稀疏矩阵乘法更新种群向量
    disp([t x' full(sum(x))]); % 显示月份、各年龄段兔子数量和总兔子数量
end

这段代码首先使用 sparse 函数创建了一个 3x3 的稀疏矩阵 L ，并设置了莱斯利矩阵的非零元素。然后，初始化了种群向量 x ，并使用稀疏矩阵乘法在 24 个月内更新种群向量。最后，显示每个月的月份、各年龄段兔子数量和总兔子数量。

28、编写一个函数 x = mygauss(a, b) 来求解一般的线性方程组 Ax = b，利用高斯消元法对增广系数矩阵的行进行操作，在操作中可使用冒号运算符简化代码。在具有随机元素的矩阵 A 和向量 b 上测试该函数。使用左除运算符检查解的正确性。

本题要求编写一个名为 mygauss 的函数来求解线性方程组 $ Ax = b $，可利用高斯消元法对增广系数矩阵的行进行操作，在操作中可使用冒号运算符简化代码。编写完成后，要在随机元素的 $ A $、$ b $ 上进行测试，并使用左除运算符检查解的正确性。具体可利用矩阵行操作实现。

29、编写一个名为 pretty 的函数，使其能够绘制由任意指定字符组成的一行。要使用的字符必须作为额外的输入（字符串）参数传递，例如， pretty(6, '$') 应该绘制六个美元符号。

以下是实现该功能的MATLAB代码示例：

function pretty(n, char)
    str = repmat(char, 1, n);
    disp(str);
end

你可以调用 pretty(6, '$') 来测试该函数。

30、编写一个脚本 newquot.m，使用牛顿商 [f (x + h) - f (x)]/h 来估计 f (x) = x³ 在 x = 1 处的一阶导数，依次使用更小的 h 值：1、10⁻¹、10⁻² 等。使用一个函数 M 文件来表示 f (x)。将 newquot 重写为一个能够将 f (x) 的句柄作为输入参数的函数 M 文件。

以下是解决该