12、π-演算中并行计算复杂度类型分析

π-演算中并行计算复杂度类型分析

1. 定理与推论

存在定理：设 $P$ 为带注释的进程，$m$ 为其全局并行复杂度。对于类型 $\varphi; Φ; Γ ⊢P ◁K$，有 $\varphi; Φ ⊨K ≥m$。通过代入引理和并行组合规则可得到推论 1。

2. 双调排序示例

双调排序是一种常见的并行算法，其并行复杂度为 $O(log(n)^2)$。下面将展示如何使用类型系统推导该算法的复杂度界限。

2.1 双调序列与算法思路

• 双调序列：由递增序列后接递减序列组成的序列（如 $[2, 7, 23, 19, 8, 5]$），或此类序列的循环旋转（如 $[8, 5, 2, 7, 23, 19]$）。
• 算法主要函数：
  • bmerge ：接收双调序列并递归排序。假设 $s = [a_0, …, a_{n - 1}]$ 是双调序列，$[a_0, …, a_{n/2 - 1}]$ 递增，$[a_{n/2}, …, a_{n - 1}]$ 递减，计算 $s_1 = [min(a_0, a_{n/2}), min(a_1, a_{n/2 + 1}), …, min(a_{n/2 - 1}, a_{n - 1})]$ 和 $s_2 = [max(a_0, a_{n/2}), max(a_1, a_{n/2 + 1}), …, max(a_{n/2 - 1}, a_{n - 1})]$。$s_1$ 和 $s_2$ 为双调序列，且 $\forall x \in s_1, \forall y \in s_2, x ≤ y$，然后递归应用 bmer