33、跳跃线性系统的模态估计与条件线性滤波

跳跃线性系统的模态估计与条件线性滤波

1. 跳跃线性系统的模态估计相关引理

1.1 变量定义与基本引理

首先，定义了随机变量 (z_k = -\frac{\ln p_{W_{1,k}}(W_{1,k})}{kn_F})，并采用 (D = \frac{D_d}{n_F}) 简化方程。

对于任意给定的正定矩阵 (\Sigma_X \in R^{n_X×n_X})，设 (X) 是均值为零、协方差矩阵为 (\Sigma_X) 的高斯随机变量，有：
(\sup_{\Sigma_X>0} \left{E\left[\left(\frac{\ln p_X(X)}{n_X}\right)^2\right] - \left(E\left[\frac{\ln p_X(X)}{n_X}\right]\right)^2\right} < \frac{a}{n_X})
其中 (p_X(X) = \frac{e^{-\frac{1}{2}X^T\Sigma_X^{-1}X}}{(2\pi)^{n_X}|\Sigma_X|^{\frac{1}{2}}})，且 (a = \frac{1}{2})。

1.2 概率边界引理

给定 (\varepsilon > 0) 和 (k \geq 1)，有：
(P\left(\left|z_k - \frac{r_W}{n_F}\right| > \varepsilon\right) < \frac{1}{2k\varepsilon^2n_F})
证明过程基于 (W_k) 是独立同分布且 (\Sigma_W > 0)，结合前面的引理和切比雪夫 - 比内梅不