32、一类隐马尔可夫模型的估计

一类隐马尔可夫模型的估计

在系统识别和参数估计领域，受信息理论启发的距离度量有着广泛的应用。本文将深入探讨一类隐马尔可夫模型的估计问题，涵盖问题的提出、编码解码过程、性能分析以及高效算法等方面。

1. 符号说明

为了便于后续的讨论，我们先明确一些符号的含义：
- 大写字母表示向量和矩阵，小写字母表示实标量和离散变量，(p) 用于表示概率分布。
- 离散时间序列通过整数下标进行时间索引，例如 (x_k)。有限段离散时间序列由时间索引范围表示，如 (q_{n,k} = (q_n, \ldots, q_k))（(k \geq n)）。
- 上标用于区分不同变量和函数，随机变量用粗体字母表示。例如，(\mathbf{x}) 表示标量随机变量，其样本（或实现）写作 (x)；离散时间随机变量序列的有限段表示为 (\mathbf{q} {1,k})，其实现表示为 (q {1,k})。
- 事件的概率用 (P(\text{event})) 表示。随机变量 (Z) 的熵函数定义为 (H[Z] = E[-\ln p_Z(Z)])，其中 (p_Z) 是 (Z) 的概率密度函数，(E[\cdot]) 是关于 (Z) 的期望值。条件熵为 (H[Z_1|Z_2] = H[Z_1, Z_2] - H[Z_2])。随机矩阵 (Z \in \mathbb{R}^{n_1\times n_2}) 的协方差矩阵为 (\Sigma_Z = E\left[\left(\vec{Z} - E[\vec{Z}]\right)\left(\vec{Z} - E[\vec{Z}]\right)^T\right])，其中 (\vec{Z} = \text{vec}(Z))。

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