数论-组合数、卢卡斯定理

组合数

以下求$C_a^b$的情况

一($N^2$）

使用递推式$C_a^b=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1}$求解
阶乘%1e9+7
$T=10^5$
$1\le b\le a\le 2000$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int c[2010][2010];
const int mod=1e9+7;

void init(){
    for(int i=0;i<=2000;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!j) c[i][j]=1;
            else c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}

int main(){
    init();
    int t;cin>>t;while(t--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<c[a][b]<<endl;
    }
}

二($N\cdot {\log }_{2}N$)

$T=10^5$
$1\le b\le a\le 10^5$
阶乘%1e9+7
使用公式$$C_a^b=\frac{a!}{(a-b)!\cdot b!}$$
预处理阶乘，使用快速幂预处理阶乘的逆元

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int fact[100010],infact[100010];//fact 阶乘，infact 逆元的阶乘
const int mod = 1e9+7;

int qmi(int a, int k, int p){
    int res = 1;
    while(k){
        if(k&1) res =(ll)res * a %p;
        a=(ll) a * a % p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    fact[0] = infact[0] = 1;//0的阶乘
    for(int i=1;i<=100000;i++){
        fact[i] = (ll)fact[i-1] * i % mod;
        infact[i] = (ll)infact[i-1] * qmi(i, mod-2, mod) % mod;
    }
    int t;cin>> t; while(t--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<(ll)fact[a] * infact[b] % mod * infact[a-b] %mod <<endl;;
    }
    return 0;
}

三 卢卡斯定理（${\log }_{p}N\cdot P\cdot lo{g}_{2}p$）

求$C_a^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
$T=20$
$1\le b\le a\le 10^{18},1\le p\le 10^5且p为质数$

卢卡斯定理（lucas）
$C_a^b\equiv C_{a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}+C_{a/p}^{b/p}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;


int qmi(int a, int k, int p)
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}


int C(int a, int b, int p)
{
    if (b > a) return 0;

    int res = 1;
    for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j -- )
    {
        res = (LL)res * j % p;
        res = (LL)res * qmi(i, p - 2, p) % p;
    }
    return res;
}


int lucas(LL a, LL b, int p)
{
    if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
    return (LL)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    while (n -- )
    {
        LL a, b;
        int p;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << lucas(a, b, p) << endl;
    }

    return 0;
}

四

高精度组合数

• 分解质因数
• 高精度乘法

#include<bits/stdc++.h>


using namespace std;


const int N = 5010;

int primes[N], cnt;
int sum[N];
bool st[N];


void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}


int get(int n, int p)
{
    int res = 0;
    while (n)
    {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}


vector<int> mul(vector<int> a, int b)
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return c;
}


int main()
{
    int a, b;
    cin >> a >> b;

    get_primes(a);

    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
    {
        int p = primes[i];
        sum[i] = get(a, p) - get(a - b, p) - get(b, p);
    }

    vector<int> res;
    res.push_back(1);

    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )
        for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
            res = mul(res, primes[i]);

    for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", res[i]);
    puts("");

    return 0;
}