【JZOJ6082】染色问题

Description

有n个格子，现在用m种颜色按顺序染m次，每次可以染一段区间（如果区间内有别的颜色将会被这种颜色覆盖），问最终所有格子都有颜色的情况下，不同的颜色序列有多少种。

Solution

最终序列肯定是一段一段的颜色，其实每次染色相当于从原有的颜色段中插入一段颜色。
设$f_{i,j}$表示前$i$次染色，颜色段长度为$j$的方案数，容易得到转移就是：
$$f_{i,j}=f_{i-1,j}+\sum _{k=0}^{j-1}(k+1)f_{i-1,k}$$
把$f_{i,j}$看成$f_i(x)[x^j]$，转移可以看成$f_i(x)=f_{i-1}(x)(ix+1)$，最后再乘上个组合数，答案可以写成（这里m颜色必须染）：
$$\sum _{i=1}^m{C}_{m-1}^{i-1}([x^i]x\prod _{j=2}^n(jx+1))$$
分治NTT会T，考虑倍增：
设$f_m(x)=\prod _{i=1}^m((i+1)x+1)$,$f_m^{\prime }(x)=\prod _{i=m+1}^{2m}((i+1)x+1)$
那么$f_{2m}(x)=f_m(x)f_m^{\prime }(x)$
考虑求$f_m^{\prime }(x)$，改写一下变成$f_m^{\prime }(x)=\prod _{i=1}^m((i+1)x+mx+1)$
设$a_i=f_m(x)[x^i]$，$b_i=f_m^{\prime }(x)[x^i]$，枚举有$f_m(x)$有多少个$1$变成了$m$，可以得到：
$$b_{i+j}=C_{m-i}^j{m}^j{a}_i$$
把组合数拆开，多项式乘法即可。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10,M=3e6+10,mo=998244353;
int qpow(int x,int y){
	int s=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mo) if(y&1) s=(ll)s*x%mo;
	return s;
}
int fn;
int jc[N],ny[N];
int rev[M];
int pl(int x,int y){
	return x+y>=mo?x+y-mo:x+y;
}
void NTT(int *a,int sig){
	fo(i,1,fn-1) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int m=2;m<=fn;m<<=1){
		int half=m>>1,w0=qpow(3,(mo-1)/m);
		if(sig<0) w0=qpow(w0,mo-2);
		for(int i=0;i<fn;i+=m)
		for(int j=i,w=1;j<i+half;++j,w=(ll)w*w0%mo){
			int u=a[j],v=(ll)a[j+half]*w%mo;
			a[j]=pl(u,v),a[j+half]=pl(u,mo-v);
		}
	}
	if(sig<0){
		int nf=qpow(fn,mo-2);
		fo(i,0,fn-1) a[i]=(ll)a[i]*nf%mo;
	}
}
void mul(int *a,int *b,int ln,int nd){
	int cnt=0;
	for(fn=1;fn<=(ln<<1);fn<<=1) ++cnt;
	fo(i,1,fn-1) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(cnt-1);
	fo(i,ln+1,fn-1) a[i]=b[i]=0;
	NTT(a,1),NTT(b,1);
	fo(i,0,fn-1) a[i]=(ll)a[i]*b[i]%mo;
	NTT(a,-1);
	fo(i,nd+1,fn-1) a[i]=0;
}
int b[M],c[M],d[M];
void solve(int *a,int n){
	if(n==1){
		a[0]=1,a[1]=2;
		return;
	}
	int m=n>>1;
	solve(a,m);
	fo(i,0,m) b[i]=(ll)a[i]*jc[m-i]%mo,c[i]=(ll)qpow(m,i)*ny[i]%mo;
	mul(b,c,m,m);
	fo(i,0,m) b[i]=(ll)b[i]*ny[m-i]%mo;
	mul(a,b,m,m<<1);
	if(n&1){
		c[0]=0;
		fo(i,0,m<<1) c[i+1]=(ll)a[i]*(n+1)%mo;
		fo(i,0,n) a[i]=pl(a[i],c[i]);
	}
}
int C(int m,int n){
	return (ll)jc[m]*ny[n]%mo*ny[m-n]%mo;
}
int a[M];
int main()
{
	freopen("color.in","r",stdin);
	freopen("color.out","w",stdout);
	int n,m,mx;
	scanf("%d %d",&n,&m),mx=max(n,m);
	jc[0]=1;
	fo(i,1,mx) jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mo;
	ny[mx]=qpow(jc[mx],mo-2);
	fd(i,mx,1) ny[i-1]=(ll)ny[i]*i%mo;
	solve(a,n-1);
	int ans=0;
	fo(i,0,m-1) ans=pl(ans,(ll)a[i]*C(m-1,i)%mo);
	printf("%d",ans);
}