博客探讨n个人两两对战，对于i≤j，i有p的概率赢，求每个i∈[1,n−1]存在子集s，s中所有人能打败非s中集合的人的概率。通过设Fn,i表示答案，分别考虑n和1加入的情况得到递推式，p = 1/2时单独计算。
Description
nnn个人两两对战，对于i≤ji\leq ji≤j，iii有ppp的概率赢，问对于每个i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]i∈[1,n−1]，存在一个子集sss，sss中所有人都能打败非sss中集合的人的概率。
Solution
设Fn,iF_{n,i}Fn,i表示nnn个人iii的答案。
考虑nnn加入进去，Fn,i=(1−p)n−iFn−1,i−1+piFn−1,iF_{n,i}=(1-p)^{n-i}F_{n-1,i-1}+p^iF_{n-1,i}Fn,i=(1−p)n−iFn−1,i−1+piFn−1,i。
考虑111加入进去，Fn,i=pn−iFn−1,i−1+(1−p)iFn−1,iF_{n,i}=p^{n-i}F_{n-1,i-1}+(1-p)^iF_{n-1,i}Fn,i=pn−iFn−1,i−1+(1−p)iFn−1,i。
联立即可得到线性递推式，注意到p=12p=\frac{1}{2}p=21时式子无意义，单独算就是Cni(12)i(n−i)C_n^i(\frac{1}{2})^{i(n-i)}Cni(21)i(n−i)。
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