14、时间序列模型估计：从理论到实践

时间序列模型估计：从理论到实践

1. 迭代估计的效果分析

在时间序列模型的估计过程中，计算密集型的迭代操作并不一定能提升最终结果的质量。以 ARMA(5,4) 模型为例，所有五个初始阶段在第二阶段迭代时都收敛到相同的平均误差（ME）。然而，迭代后的最小 ME 比第二阶段单次迭代后的最佳结果还要大 1。单次迭代后从数据重建的残差平均质量较差，主要是因为少数模拟运行的质量极低。在大多数运行中，ME 约为 100，但在某些运行中，ME 超过 1000。

从表面上看，图 6.19 左侧的结果似乎表明，使用特定公式（6.28）重建残差有时会得到非常差的模型。但实际上，只有在使用算法估计预定阶数的模型时，才可能出现这种情况。如果残差重建作为第一阶段方法得到的固定真实过程阶数模型质量不佳，那么高一两阶的模型往往会更好。

目前的结果可能不尽如人意。在五个第一阶段方法中，如果中间 AR 阶数选择正确，一两种方法可以给出准确的结果。但事先并不知道哪种第一阶段方法是最好的。如果先验地知道真实过程参数，中间 AR 阶数可以选择得很好，即当用过程的真实 AR 参数计算的残差方差小于特定值时的阶数。但在时间序列估计中，这种信息通常是不可用的。关于五个第一阶段方法的自动选择以及中间 AR 阶数的确定，将在后续关于阶数选择的内容中讨论。

2. ARMA 参数的协方差矩阵

2.1 估计的 AR 参数的协方差矩阵

Kay（1988）报告了 AR 参数有效估计的协方差矩阵的大样本结果。只要 AR 阶数 p 远小于样本数量 N，且极点到单位圆的距离不太小（至少大于 1/N），这些结果也可用于有限样本的近似。估计的 AR(p) 参数的渐近协方差矩阵为：