17、连接词相关主题深入解析

连接词相关主题深入解析

1. 平均算子基础概念

在单位区间 $[0, 1]$ 中，对于自同构 $\gamma$，我们称其为算子 $\dot{+}$ 的生成元，记为 $\dot{+} = \dot{+}_\gamma$，且平均算子的生成元是唯一的。利用单位区间上的平均算子，我们可以定义该区间的两个自同构或两个反自同构的平均值，这在后续内容中具有重要作用。

定理 1 ：若 $f$ 和 $g$ 是区间 $I$ 的自同构（或反自同构），$\dot{+}$ 是 $I$ 上的平均算子，那么由 $(f \dot{+} g)(x) = f(x) \dot{+} g(x)$ 定义的 $f \dot{+} g$ 仍是 $I$ 的自同构（或反自同构）。

证明过程如下：
- 假设 $f$ 和 $g$ 是 $I$ 的自同构，当 $x < y$ 时，因为 $\dot{+}$ 在每个变量上严格递增，所以 $f(x) < f(y)$ 且 $g(x) < g(y)$ 能推出 $f(x) \dot{+} g(x) < f(y) \dot{+} g(y)$，这表明映射 $f \dot{+} g$ 严格递增。
- 同时，$(f \dot{+} g)(0) = f(0) \dot{+} g(0) = 0 \dot{+} 0 = 0$，$(f \dot{+} g)(1) = f(1) \dot{+} g(1) = 1 \dot{+} 1 = 1$。
- 接下来证明 $f$ 将 $[0, 1]$ 映射到 $[0, 1]$。设 $y \in [0, 1]$，则 $f(0) \dot{+} g(0) = 0 \leq y \leq 1 =