AcWing 91. 最短Hamilton路径 [状压dp]

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式
第一行输入整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。
输出格式
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。
数据范围
1≤n≤201≤n≤20
0≤a[i,j]≤1070≤a[i,j]≤107
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

要求一个最短Hamilton路径，一个nphard问题
对于地图中每一个点，在走的时候都有走过和没有走过两种状态，要想枚举每种状态，可以用位运算代表当前走过的情况；
地图最大是20，数组需要1<<20*20,相比20！*20可以接受；
枚举时，每条序列i有20位，第j位为1则代表这个点已经走过了，0反之；
for (i=1; i<(1<<n); i++)//i代表着是一个方案集合，其中每一个位置1和0，代表着这个点经过还是没有经过

for (i=1; i<(1<<n); i++)
for (j=0; j<n; j++)
        if ((i>>j & 1))
            for (k=0; k<n; k++)
                if ((i^(1<<j)) >> k & 1)
                    f[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]+weight[k][j]);

这个是核心代码,逐个讲；
for (i=1; i<(1<<n); i++)
for (j=0; j<n; j++)
i序列就是整个路径走过的情况用二进制可以遍历到所有情况；
然后对这条n位路径逐位分析；
if ((i>>j & 1))
for (k=0; k<n; k++)
判断第j位是不是1；有没有走过，如果走过的话就在当前基础上再次对i遍历；
if ((i^(1<<j)) >> k & 1)
f[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]+weight[k][j]);
如果第j位是1，则将第j位变成0，然后对i序列遍历，对改变后的i序列为1的每一位dp运算
dp数组ij分别代表当前的i序列，当前走到了j点，在当前的i序列下，走到j点后可能的花费由除了j为0，其他和i序列相同的这个序列的除j外其他为1的点的花费加上这个点到j的花费之中取最小的；

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[1<<20][21],i,j,k;
int weight[21][21];
int main()
{
   ios::sync_with_stdio(false);
   memset(f,0x3f,sizeof(f));cin>>n;
   for (i=0; i<n; i++)
       for (j=0; j<n; j++)
           cin>>weight[i][j];
   f[1][0]=0;
   for (i=1; i<(1<<n); i++)
       for (j=0; j<n; j++)
           if ((i>>j & 1))//如果i集合中第j位是1，也就是到达过这个点
               for (k=0; k<n; k++)//枚举到达j的点k
                   if ((i^(1<<j)) >> k & 1)
                       f[i][j]=min(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]+weight[k][j]);//选择最小值
   cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
   return 0;
} //代码借鉴了后面的题解