题解最短Hamilton路径

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#题解

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本文介绍了一种使用位运算解决特定最短路径问题的方法，适用于小规模带权无向图，通过动态规划实现从起点到终点遍历所有节点的最短路径计算。

题目链接：

AcWing

题目描述：

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，每个点经过一次，求从0到n-1的最短路径

题解：

数据范围比较小，所以暴力也能做，但正解是贼难的位运算 Q_Q

算法的核心是用一个二进制数表示一种方案
对于这个数的第i位：0表示没走过，1表示走过
这里的f[i][j]表示：在当前方案i中，走到了j
那么状态转移方程就是

f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+a[k][j]

k与j一样，也是一个数
即取直接走到j 与先去k再转到j 的最小值
[i-(1<<j) 的意思是从方案i中删去j
打个比方：
n=5;
当走过0,1,4时，i=10011
此时

j=1;
(1 << j) = 10;
i - (1 << j) = 10001;

问题的答案是全走完并走到n-1,即f[(1<<n)-1][n-1]

注意！ f数组的初始值是无限大的，开始点f[1][0]为0

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[1<<20][21],i,j,k;
int a[21][21];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    cin>>n;
    for (i=0; i<n; i++)
        for (j=0; j<n; j++)
            cin>>a[i][j];
    f[1][0]=0;
    for (i=1; i<(1<<n); i++)
        for (j=0; j<n; j++)
            if ((i>>j & 1))
                for (k=0; k<n; k++)
                    if ((i-(1<<j)) >> k & 1)
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+a[k][j]);
    cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
    return 0;
}