3、数值积分、适应度测量与参数搜索算法

数值积分、适应度测量与参数搜索算法

1. 数值积分方法与偏微分方程求解

1.1 显式一阶方法

显式一阶方法比前向欧拉法更准确和稳定。当前向欧拉法中指数项用其级数展开的前两项替代时，它就简化为前向欧拉法。若输入 (I) 为常数，通过在方程中用 (t + \Delta t) 代替 (t) ，可以发现该方法能精确求解方程，且与 (\Delta t) 的大小无关。

1.2 偏微分方程（PDEs）

二阶偏微分方程的积分会引入两个积分常数，因此需要两个额外的约束条件来得到唯一解，这些约束条件被称为边界条件。例如，可以是两个点 (x_1) 和 (x_2) 处的稳态值 (V_{\infty}(x)) ，或者是单个点 (x_1) 处的稳态值 (V_{\infty}(x)) 及其一阶导数 (dV_{\infty}(x)/dx) ，也可以是它们的组合。同时，还需要指定每个位置 (x) 处的初始条件 (V(x, t = 0)) 。

数值积分二阶偏微分方程还需要对二阶偏导数进行有限差分近似，例如：
[
\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{V(x + \Delta x,t) - 2V(x,t) + V(x - \Delta x,t)}{(\Delta x)^2}
]
通过对 (V(x + \Delta x)) 和 (V(x - \Delta x)) 的泰勒级数方程求和，可以证明这种有限差分近似的截断误差为 (O((\Delta x)^2)) 。将该近似与梯形法则结合，就得到了 Crank - Nicolson 方法。该方法在空间和时间上都是二阶的，局部