2、方程求解与参数拟合入门

方程求解与参数拟合入门

在科学研究和工程应用中，我们常常需要对系统进行建模，而建模的过程往往涉及到微分方程的使用以及参数的拟合。下面将为大家详细介绍相关的基础知识。

1. 微分方程简介

在描述系统时，我们会遇到不同状态的系统。处于稳态的系统通常可以用代数方程来描述，例如方程 $V = I R_{in}$ 表示在施加恒定电流 $I$ 时，欧姆膜电阻 $R_{in}$ 上的电位 $V$。然而，生物系统很少处于稳态，它们具有内在的动态特性，只有随着时间的推移才会渐近地达到由恒定输入所施加的稳态。这种随时间变化的行为就需要用微分方程来描述。

微分方程不仅可以描述变量随时间的变化率，还能描述系统中某个量在空间维度上的变化。例如粒子扩散和电紧张传播等现象。

2. 如何解读微分方程

2.1 常微分方程（ODEs）

最简单的微分方程类型描述了一个因变量（如 $V$）相对于一个自变量（如 $t$）的演化。考虑一个遵循以下方程的系统：
$$\frac{dV(t)}{dt} = -\frac{V(t)}{\tau} + \frac{I(t)}{R_{in}}$$
其中，$\frac{dV(t)}{dt}$ 表示 $V$ 对 $t$ 的普通导数，定义为：
$$\frac{dV(t)}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{V(t + \Delta t) - V(t)}{\Delta t}$$
这个方程表明，$V$ 的值以与自身成正比的速率减小，同时以与输入成正比的速率增加。许多生物系统至少在其状态变量保持在一定区间内时，可以用这种微分方程来描述。