26、二元感知机在线学习的优化策略

二元感知机在线学习的优化策略

1. 在线学习规则的渐近行为模拟

在对二元感知机的在线学习规则进行研究时，通过数值模拟可以观察到不同学习规则下泛化误差 (E) 的渐近行为。模拟使用了包含 (N = 1000) 个神经元的网络，对三种不同的在线学习规则进行了测试，分别是赫布（Hebbian）规则、感知机（perceptron）规则和阿达特朗（AdaTron）规则。初始状态设定为 (E(0) = \frac{1}{2}) 和 (J(0) = 1)，学习率 (\eta = 1)。

模拟结果以对数 - 对数图的形式展示了误差 (E) 的渐近松弛情况，同时给出了三种规则对应的渐近幂律预测。从模拟结果可以看出，(N = 1000) 已经足够大，使得 (N \to \infty) 的理论能够很好地适用。教师权重向量 (B) 是从 ([-1, 1]^N) 中随机抽取并归一化为单位长度的。这表明统计力学理论能够很好地描述模拟结果。

2. 优化学习规则的思路

传统上，我们通常是为给定的学习规则计算宏观动力学。然而，现在我们尝试采用“反向模式”，即寻找能够优化宏观动力学定律的学习规则，使得误差 (E) 能够最快地趋近于期望的 (E = 0) 状态。在很多情况下，我们甚至可以通过解析方法求解相应的宏观微分方程，得到误差 (E(t)) 或其反函数 (t(E)) 的显式表达式。

3. 时变学习率的优化

3.1 感知机规则的时变学习率选择

对于感知机规则，我们可以通过简单地选择合适的时变学习率 (\eta(t)) 来显著改善误差 (E) 的渐近行为。我们考虑两种特定的时变学习率选择：
- 第一