16、信息论中的熵与编码：原理、证明与实例

信息论中的熵与编码：原理、证明与实例

在信息论领域，熵与编码是两个核心概念，它们紧密相关且在信息处理和通信中起着至关重要的作用。本文将深入探讨熵与最优编码的关系，介绍香农的原始证明，并通过具体实例展示熵的性质和应用。

最优编码的构建与界限

在编码过程中，前缀码是一种常用的编码方式。通过特定的构建方法，可以生成满足要求的前缀码。例如，给定一组构建规则：
| 构建过程 | 结果 |
| — | — |
| (C_1 = 0) | (00) |
| (C_2 = C_1 + 1 = 1) | (01) |
| (C_3 = 2 × (C_2 + 1) = 4) | (100) |
| (C_4 = C_3 + 1 = 5) | (101) |
| (C_5 = 2 × (C_4 + 1) = 12) | (1100) |
| (C_6 = C_5 + 1 = 13) | (1101) |

这是一个前缀码，且满足所需的码字长度。然而，当Kraft不等式不满足时，前缀码的构建可能会失败。例如，选择集合 ({\ell_i} = {1, 2, 2, 2})，该集合违反了Kraft不等式：
(\sum_{i=1}^{4} (\frac{1}{2})^{\ell_i} = \frac{1}{2} + 3 × (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4} > 1)

按照构建规则生成的代码在 (C_4) 处出现问题，无法得到满足要求的2位字符串，这表明违反Kraft不等式的码字长度无法构建前缀码。

接下来，我们将证明两个关于最优编码的重要定理：