49、自然语言处理与机器学习：向量空间与Python入门

向量空间与Python基础入门

最新推荐文章于 2025-12-04 16:52:31 发布

rust6ferris

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分类专栏： NLP与机器学习入门指南文章标签：自然语言处理机器学习向量空间

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自然语言处理与机器学习：向量空间与Python入门

1. 向量空间基础

向量空间是一个数学概念，其元素是向量，通常由一组数字组成。实值向量空间包含实数向量，而复值向量空间包含复数向量。向量空间的维度是线性无关向量的最小数量。

例如，在欧几里得平面中，向量 $u = [2,3]$ 是一个二维实值向量；在复平面中，向量 $v = [2 + 5i, 4 - 7j]$ 是一个二维复值向量。

每个向量都可以表示为基向量的线性组合。生成集是基的超集，其中一些向量是其他向量的线性组合，这些向量称为相关向量。去除相关向量后，剩余的向量构成基。基向量不一定是单位向量，也不一定相互正交。

以下是不同维度向量空间的一些例子：
- 一维向量空间 ：实数轴可以看作一维向量空间，向量 $i = [1,0]$ 是该空间的基，因为任何其他向量都是 $i$ 的倍数。
- 二维向量空间 ：欧几里得平面是二维向量空间，单位向量 $i = [1,0]$ 和 $j = [0,1]$ 构成基，因为任何其他向量都是 $i$ 和 $j$ 的线性组合，且 $i$ 和 $j$ 的点积为 0，说明它们相互正交。不过，集合 ${2i, 3j}$ 中的向量不是单位向量，但也构成欧几里得平面的基。另外，集合 ${i + j, i}$ 也构成基，尽管它们不相互正交且其中一个不是单位向量。
- 三维向量空间 ：在三维欧几里得空间中，向量集 ${i, j, k}$ 构成正交基，其中 $i = [1,0,0]$，$j = [0,1,0]$，$k = [0,0,1]$。

一般来说，$n$ 维向量空间 $V$ 有一个由 $n$ 个正交向量组成的基 $S$。如果创建一个矩阵 $M$，其行是基向量，那么矩阵 $M$ 的逆存在，因为行是线性无关的。实际上，$n$ 个未知数的 $n$ 个线性方程组有唯一解的充要条件是相关矩阵 $M$ 可逆，统计软件包中包含求解线性方程组的算法。

2. Python 入门

Python 是一种广泛使用的编程语言，以下是关于 Python 的一些基础知识。

2.1 Python 工具

Anaconda ：适用于 Windows、Linux 和 Mac 的 Python 发行版，可从 http://continuum.io/downloads 下载。它适合安装 NumPy 等模块，对于 Windows 用户是一个不错的选择。
easy_install 和 pip ：用于安装 Python 模块的工具，使用语法如下：

easy_install <module-name>
pip install <module-name>

Python 模块相对容易安装，而用 C 语言编写的模块通常运行速度更快，但安装难度较大。
- virtualenv ：用于创建隔离的 Python 环境，主页为 http://www.virtualenv.org/en/latest/virtualenv.html 。它可以解决不同应用程序的依赖和版本问题。
- IPython ：一个增强的交互式 Python 解释器，获得过 Jolt 奖，主页为 http://ipython.org/install.html 。在命令行输入 ipython 即可启动，输入 ? 可获取帮助信息。

graph LR
    A[Python 工具] --> B[Anaconda]
    A --> C[easy_install 和 pip]
    A --> D[virtualenv]
    A --> E[IPython]

2.2 Python 安装

在下载 Python 之前，可在命令行输入 python -V 检查是否已安装 Python。建议安装 Python 3.9 版本，以确保与代码示例兼容。如果需要安装，可访问 http://www.python.org/download 进行下载。对于 Windows 用户，还可使用 PythonWin，其主页为 http://www.cgl.ucsf.edu/Outreach/pc204/pythonwin.html 。

安装完成后，可通过以下三种方式启动 Python：
- 使用 Python 交互式解释器。
- 从命令行启动 Python 脚本。
- 使用集成开发环境（IDE）。

2.3 Python 交互式解释器

在命令行输入 python 启动交互式解释器，输入表达式 2 + 7 可得到结果 9，输入 quit() 退出解释器。要从命令行启动 Python 脚本，可在脚本名前加上 python ，例如：

python myscript.py

假设 myscript.py 包含以下代码：

print('Hello World from Python')
print('2 + 7 = ', 2+7)

运行该脚本将输出：

Hello World from Python
2 + 7 = 9

2.4 Python 标识符

Python 标识符是变量、函数、类、模块或其他 Python 对象的名称，有效标识符需遵循以下规则：
- 以字母 A - Z、a - z 或下划线 (_) 开头。
- 可包含零个或多个字母、下划线和数字（0 - 9）。
- 不能包含 @、$ 和 % 等字符。

Python 是区分大小写的语言，例如 Abc 和 abc 是不同的标识符。此外，Python 还有以下命名约定：
- 类名以大写字母开头，其他标识符以小写字母开头。
- 以单个下划线开头的标识符为私有标识符。
- 以两个下划线开头的标识符为强私有标识符。
- 以两个下划线开头和结尾的标识符是语言定义的特殊名称。

2.5 代码块和多行语句

与其他编程语言不同，Python 使用缩进来表示代码块，缩进必须保持一致。例如：

if True:
    print("ABC")
    print("DEF")
else:
    print("ABC")
    print("DEF")

多行语句可以用换行符或反斜杠（ \ ）结尾，也可以在一行中使用分号（ ; ）分隔多个语句，但不建议这样做。例如：

total = x1 + \
        x2 + \
        x3

a = 10; b = 5; print(a); print(a + b)

2.6 引号和注释

Python 允许使用单引号（ ' ）、双引号（ " ）和三引号（ ''' 或 """ ）表示字符串，三引号可用于表示多行字符串。以字母 r 开头的字符串将所有字符视为字面字符，忽略元字符的特殊含义。例如：

word = 'word'
line = "This is a sentence."
para = """This is a paragraph. This paragraph contains
more than one sentence."""

a1 = r'\n'
a2 = r'\r'
a3 = r'\t'
print('a1:', a1, 'a2:', a2, 'a3:', a3)

输出结果为：

a1: \n a2: \r a3: \t

在字符串外部，井号（ # ）表示注释的开始，注释后的所有字符将被 Python 解释器忽略。例如：

#!/usr/bin/python
# First comment
print("Hello, Python!")  # second comment

输出结果为：

Hello, Python!

2.7 保存代码到模块

Python 模块是包含 Python 语句的文本文件。在 Python 解释器中输入的代码只在当前会话有效，若要保留代码片段和定义，可将其保存到文本文件中。模块中的最外层语句在首次导入时将按从上到下的顺序执行，从而设置其变量和函数。

可以直接从命令行运行 Python 模块，例如：

python First.py

假设 First.py 包含以下代码：

x = 3
print(x)

运行该命令将输出 3。当直接运行 Python 模块时，特殊变量 __name__ 将被设置为 __main__ ，常见的代码结构如下：

if __name__ == '__main__':
    # do something here 
    print('Running directly')

这段代码可让 Python 判断模块是从命令行启动还是被导入到其他模块中。

2.8 标准模块和内置函数

Python 标准库提供了许多模块，可简化 Python 脚本的编写。一些重要的模块包括 cgi 、 math 、 os 、 pickle 、 random 、 re 、 socket 、 sys 、 time 和 urllib 。要使用这些模块，需在代码中导入，例如：

import datetime
import re
import sys
import time

Python 解释器提供了 help() 和 dir() 函数， help() 用于显示文档字符串， dir() 用于显示定义的符号。例如，在解释器中输入 dir(str) 可显示字符串相关的方法：

['__add__', '__class__', '__contains__', '__delattr__', '__
doc__', '__eq__', '__format__', '__ge__', '__getattribute__', 
'__getitem__', '__getnewargs__', '__getslice__', '__gt__', 
'__hash__', '__init__', '__le__', '__len__', '__lt__', '__
mod__', '__mul__', '__ne__', '__new__', '__reduce__', '__re-
duce_ex__', '__repr__', '__rmod__', '__rmul__', '__setattr__', 
'__sizeof__', '__str__', '__subclasshook__', '_formatter_
field_name_split', '_formatter_parser', 'capitalize', 'cen-
ter', 'count', 'decode', 'encode', 'endswith', 'expandtabs', 
'find', 'format', 'index', 'isalnum', 'isalpha', 'isdigit', 
'islower', 'isspace', 'istitle', 'isupper', 'join', 'ljust', 
'lower', 'lstrip', 'partition', 'replace', 'rfind', 'rindex', 
'rjust', 'rpartition', 'rsplit', 'rstrip', 'split', 'split-
lines', 'startswith', 'strip', 'swapcase', 'title', 'trans-
late', 'upper', 'zfill']

虽然 max() 函数的作用很明显，但其他函数（如 filter() 或 map() ）的用途可能不那么直观。此外，可通过 dir(__builtins__) 获取内置函数和变量的信息，使用 help(str.lower) 可获取特定函数的详细信息。

3. 向量空间与 Python 的结合应用示例

在实际的自然语言处理和机器学习中，向量空间和 Python 常常结合使用。下面通过一个简单的示例来展示如何利用 Python 处理向量空间相关的问题。

3.1 向量的表示与运算

在 Python 中，可以使用列表或 NumPy 数组来表示向量。以下是一个使用 NumPy 进行向量运算的示例：

import numpy as np

# 定义两个二维向量
u = np.array([2, 3])
v = np.array([4, 5])

# 向量加法
w_add = u + v
print("向量加法结果:", w_add)

# 向量点积
dot_product = np.dot(u, v)
print("向量点积结果:", dot_product)

在上述代码中，我们首先导入了 NumPy 库，然后定义了两个二维向量 u 和 v 。接着进行了向量加法和点积运算，并打印出结果。

3.2 向量空间的基变换

假设我们有一个二维向量空间，其基为 ${i, j}$，现在要将其变换为另一个基 ${i + j, i}$。以下是实现该基变换的 Python 代码：

import numpy as np

# 定义原始基向量
i = np.array([1, 0])
j = np.array([0, 1])

# 定义新基向量
new_basis_1 = i + j
new_basis_2 = i

# 定义一个向量在原始基下的坐标
vector = np.array([3, 4])

# 计算向量在新基下的坐标
# 构建基变换矩阵
transformation_matrix = np.array([new_basis_1, new_basis_2]).T
# 求解线性方程组
new_coordinates = np.linalg.solve(transformation_matrix, vector)

print("向量在新基下的坐标:", new_coordinates)

在这段代码中，我们首先定义了原始基向量 i 和 j ，以及新基向量 new_basis_1 和 new_basis_2 。然后定义了一个向量在原始基下的坐标 vector 。通过构建基变换矩阵并求解线性方程组，得到了向量在新基下的坐标。

graph LR
    A[向量空间操作] --> B[向量表示与运算]
    A --> C[基变换]
    B --> D[向量加法]
    B --> E[向量点积]
    C --> F[构建基变换矩阵]
    C --> G[求解线性方程组]

4. 总结与展望

通过前面的介绍，我们了解了向量空间的基本概念，包括不同维度向量空间的基、向量的线性组合等。同时，也学习了 Python 的基础知识，如工具的使用、安装、标识符规则、代码块和多行语句的处理、引号和注释的使用，以及如何保存代码到模块和使用标准模块与内置函数。

在自然语言处理和机器学习领域，向量空间和 Python 是非常重要的工具。向量空间可以用于表示文本、图像等数据，而 Python 则提供了丰富的库和工具来处理这些数据。例如，在文本分类任务中，可以将文本转换为向量表示，然后使用机器学习算法进行分类。

未来，随着技术的不断发展，向量空间和 Python 的应用将会更加广泛和深入。例如，在深度学习中，高维向量空间的使用非常普遍，而 Python 的深度学习框架（如 TensorFlow、PyTorch）则为我们提供了强大的工具来处理这些高维向量。同时，Python 的生态系统也在不断完善，会有更多的库和工具出现，帮助我们更高效地进行自然语言处理和机器学习任务。

以下是一个简单的表格总结向量空间和 Python 的相关要点：
| 主题 | 要点 |
| ---- | ---- |
| 向量空间 | 实值和复值向量空间，不同维度向量空间的基，向量的线性组合，基变换 |
| Python | 工具（Anaconda、easy_install、pip、virtualenv、IPython），安装，交互式解释器，标识符规则，代码块和多行语句，引号和注释，模块保存，标准模块和内置函数 |

希望通过本文的介绍，能帮助读者更好地理解向量空间和 Python 的基础知识，并为后续的学习和实践打下坚实的基础。在实际应用中，读者可以根据具体需求进一步深入学习和探索相关知识。