58、决策理论中的不确定性与偏好分析

决策理论中的不确定性与偏好分析

1. 决策模型的不确定性

在决策过程中，模型可能会产生在现实中并非最优的决策。当出现这种情况时，就值得投入更多精力来完善模型。在控制理论、决策分析和风险管理等多个领域，提出了鲁棒或极小极大决策的概念。鲁棒决策旨在在最糟糕的情况下仍能取得最佳结果，这里的“最糟糕情况”是指模型参数值的所有合理变化。用 $\theta$ 表示模型中的所有参数，鲁棒决策的定义为：
$a^* = \arg\max_a \min_{\theta} EU(a; \theta)$

在很多情况下，尤其是在控制理论中，鲁棒方法设计出的方案在实践中非常可靠。但在其他情况下，它可能导致过于保守的决策。例如，在设计自动驾驶汽车时，鲁棒方法会假设道路上其他车辆的行为处于最糟糕的情况，即它们都由杀人狂驾驶，那么汽车的最优解决方案就是停在车库里。

贝叶斯决策理论为鲁棒方法提供了一种替代方案。如果对模型的参数存在不确定性，可以使用超参数对这种不确定性进行建模。与鲁棒方法认为模型中的某个概率 $\theta_i$ 可能在 0.3 到 0.7 之间，且实际值由对手选择以达到最糟糕的结果不同，贝叶斯方法会为 $\theta_i$ 设定一个先验概率分布，然后再进行后续分析。这需要更多的建模工作，例如贝叶斯建模者必须确定参数 $\theta_i$ 和 $\theta_j$ 是否独立，但在实践中往往能取得更好的效果。

除了参数不确定性，决策理论在现实世界的应用还面临结构不确定性。例如，某些模型中对变量独立性的假设可能是错误的，并且模型可能会遗漏一些额外的变量。目前，我们还没有很好的方法来考虑这种不确定性。一种可能的方法是保留一组模型，也许可以通过机器学习算法生成，希望这组模型能够