51、基于时间的概率推理：解读现在、理解过去与预测未来

基于时间的概率推理：解读现在、理解过去与预测未来

1. 时间与不确定性

在静态世界的概率推理中，每个随机变量都有单一固定的值。例如修车时，我们假设故障在诊断过程中保持不变，任务是从固定的观察证据推断汽车状态。然而，在处理动态问题时，情况就不同了。

以治疗糖尿病患者为例，我们有近期胰岛素剂量、食物摄入、血糖测量值等证据，任务是评估患者当前状态，包括实际血糖水平和胰岛素水平，进而决定患者的食物摄入和胰岛素剂量。与修车不同，这里问题的动态方面至关重要，血糖水平及其测量值会随时间快速变化，受近期食物摄入、胰岛素剂量、代谢活动和一天中的时间等因素影响。因此，为了从证据历史评估当前状态并预测治疗行动的结果，我们必须对这些变化进行建模。

类似的情况在很多场景中都会出现，如跟踪机器人位置、跟踪国家经济活动以及理解口语或书面的单词序列等。那么，如何对这些动态情况进行建模呢？

1.1 状态与观察

本章讨论离散时间模型，将世界视为一系列快照或时间片。我们给时间片编号为 0、1、2 等，而不指定具体时间。通常，假设每个时间片之间的时间间隔 ∆ 相同，对于特定应用，需要选择合适的 ∆ 值。这有时由传感器决定，如摄像机可能以 1/30 秒的间隔提供图像；有时由相关变量的典型变化率决定，如血糖监测中，十分钟内情况可能有显著变化，一分钟的间隔可能比较合适；而在模拟地质时间的大陆漂移时，一百万年的间隔可能就足够了。

每个离散时间概率模型的时间片包含一组随机变量，有些可观察，有些不可观察。为简单起见，假设每个时间片可观察的变量子集相同。我们用 (X_t) 表示时间 (t) 的状态变量集，假设其不可观察；用 (E_t) 表示可观察的证据变量集。时间 (t