18、约束满足问题的回溯搜索与优化策略

约束满足问题的回溯搜索与优化策略

1. 约束满足问题求解概述

在解决约束满足问题（CSP）时，我们常常会遇到各种挑战。以数独问题为例，简单的数独谜题可以通过AC - 3算法解决。当I6的域中只剩下值7，且第6列已有8个已知值时，弧一致性可以推断出A6必须为1。通过不断运用这种推理，AC - 3最终能解决整个谜题，使所有变量的域都缩减为单个值。

然而，并非所有数独谜题都如此简单。AC - 3仅适用于最简单的数独谜题，稍难一些的谜题可以用PC - 2解决，但计算成本更高，因为数独谜题中有255,960种不同的路径约束需要考虑。对于人类求解者来说，数独的魅力在于需要运用更复杂的推理策略，比如“裸三元组”策略。在任意单元（行、列或宫）中，找到三个方格，它们的域包含相同的三个数字或这些数字的子集，如{1,8}、{3,8}和{1,3,8}。虽然我们不知道哪个方格包含1、3或8，但这三个数字必定分布在这三个方格中，因此可以从该单元其他方格的域中移除1、3和8。

值得注意的是，许多解决数独问题的策略并非特定于数独，而是普遍适用于所有CSP。我们只需定义问题的变量、域和约束，通用的约束求解机制就能发挥作用。

2. 回溯搜索算法

有时候，约束传播过程结束后，仍有变量存在多个可能的值，这时就需要进行搜索。回溯搜索算法是基于部分赋值进行工作的。

标准的深度受限搜索在解决CSP时，状态是部分赋值，动作是扩展赋值。对于一个有n个变量、每个变量域大小为d的CSP，搜索树的叶子节点是所有完整赋值（即所有解），位于深度n处。但顶层的分支因子为nd，下一层为(n - 1)d，以此类推，搜索树有n! · dn个叶子节点，而实际上只有dn种可能的完整赋值。