25、深入理解感知机与多层感知机：从基础到复杂逻辑建模

深入理解感知机与多层感知机：从基础到复杂逻辑建模

1. 决策边界的数学表达

在输入向量 ⃗x 构成的空间中，方程 φ(⃗x) = 0 代表一个曲面。若空间是二维的，该曲面就变成曲线；若是三维空间，则有平面、球面等曲面；高于三维的空间则存在超平面、超球面等。

例如，在二维空间中，橙色直线 φ(⃗x) ≡ ⃗wᵀ⃗x + b = 0 可表示为 0.62x₀ + x₁ - 26.14 = 0，其中 ⃗w = [0.62, 1]ᵀ，b = -26.14 。在三维空间中，蓝色平面 φ(⃗x) ≡ x₀ + x₁ + x₂ = 0，此时 ⃗w = [1, 1, 1]ᵀ，b = 0 。

对于空间中的任意点 ⃗x，φ(⃗x) 的符号能告诉我们该点位于曲面 φ(⃗x) = 0 的哪一侧。所以，若能估计出对应决策边界的曲面，给定任意点，就能确定该点所属的分区，即对该点进行分类。这意味着估计决策边界等同于构建分类器。

以二维空间为例，蓝色曲线 0.62x₀ + x₁ - 26.14 = 0 为决策边界，0.62x₀ + x₁ - 26.14 < 0 的点在一侧（绿色区域），0.62x₀ + x₁ - 26.14 > 0 的点在另一侧（红色区域）。三维空间中，蓝色平面 x₀ + x₁ + x₂ = 0 也有类似的分区效果。

2. 现实问题中的通用函数

在现实问题中，有时分类输出变量并不适用，需要连续输出变量。比如，估算自动驾驶车辆的行驶速度，要依据道路限速、周边车辆速度等输入信息来进行估计。

另一个需要连续输出变量而非分类变量的情况是对事件发生概率进行建模。以人脸检测器为例，分类函数输出 0 表示“非人脸”，