8、机器学习中的矩阵运算与向量微积分基础

机器学习中的矩阵运算与向量微积分基础

1. 旋转矩阵相关知识

1.1 旋转矩阵的逆

可以通过 -θ 旋转从 ⃗y 回到 ⃗x，对应的旋转矩阵为：
[
\begin{bmatrix}
\cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \
\sin(-\theta) & \cos(-\theta)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
= R^T
]
这表明 (R^T) 是旋转的逆，即按负角度旋转。

1.2 旋转矩阵正交性的 Python 代码验证

以下是使用 Python numpy 验证旋转矩阵正交性的代码：

R_30 = rotation_matrix_2d(30)
# create a rotation matrix, R30
assert np.allclose(
    np.linalg.inv(R_30),
    np.transpose(R_30)
    # Inverse of a rotation matrix is same as its transpose
)
assert np.allclose(
    np.matmul(R_30, R_30.T),
    np.eye(2)
    # multiplicatio