10、投票与机制设计：理论、模型与应用

投票与机制设计：理论、模型与应用

在社会选择领域，投票是一种常见的决策方式，但对于什么是社会最优结果，并没有达成一致的定义。本文将深入探讨投票与机制设计的相关内容，包括不同的机制设计模型、福利近似的概念，以及它们在投票、设施选址和判断聚合等问题中的应用。

机制设计基础

在许多具体情况下，每个选项都有明确的基数效用和清晰的社会目标，例如最大化效用总和。机制设计的目标是设计出既具有策略防卫性（strategyproof），又能在实现某些优化目标方面表现良好的机制。

机制的一般定义是一个（可能随机化的）函数 (g: U(A)^n \to A)，它将基数偏好概况映射到一个结果，可能对输入或输出有约束，以及/或者进行其他修改。如果机制 (g) 只使用 (U) 中的序数信息，则称其为序数机制。

社会福利的定义为：假设代理 (i) 对每个结果 (c \in A) 的效用由 (U_i(c)) 给出，那么在概况 (U) 中结果 (c) 的社会福利为 (SW(c, U) = \sum_{i \in N} U_i(c))。我们用 (c^ (U) \in \arg\max_{c \in A} \sum_{i \in N} U_i(c)) 表示使社会福利最大化的任意候选者，用 (SW^ = SW(c^*(U), U) = \max_{c \in A} \sum_{i \in N} U_i(c)) 表示概况 (U) 中的最大社会福利。

福利近似的定义为：一个（可能随机化的）机制 (g) 是福利近似的，如果对于任何概况 (U)，(E[SW(g(U))] \geq \rho \cdot SW^*(U))，其中期望是在机制的随机化上取的（如果相关）。