考研数学-高数重要总结

极限：

1. 间断点：
   第一类间断点：左右极限存在。分为可去间断点，跳跃间断点
   第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
2. 有界和无界的概念
3. 恒等式：
   $arctanx+arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi }{2}(x>0)$
   $arctanx+arctan(\frac{1}{x})=-\frac{\pi }{2}(x<0)$
4. 三角函数
   和积化差：$sinxcosy=\frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]$
5. 有限个无穷小的和，积不一定是无穷小
6. $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+o(x^2)$

可导性

1. 若$f(x)$可导：
   $f(x_0)\ne 0，则|f(x_0)|可导<=>f(x_0)可导$
   $f(x_0)=0，则|f(x_0)|可导<=>f^{\prime }(x_0)=0$

2. 复合函数连续性问题：
   $\varphi (x)$在$x=x_0$连续，$f(u)$在$u=u_0=\varphi (x_0)$连续，则$f(\varphi (x))$在$x=x_0$连续，其他结论都是不确定的。

3. ${\int }_0^{x}f(t)dt+{\int }_{-x}^{0}f(t)dt的周期性与f(x)相同$（理解：原式=${\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}f(-t)dt={\int }_0^x[f(t)-f(-t)]dt$，由于被积函数是奇函数，f(t)和f(-t)均是以T为周期的函数，故被积函数也是以T为周期，则${\int }_0^T[f(t)-f(-t)]dt={\int }_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}(f(t)-f(-t))=0$）

4. 局部不能推全部（秒杀选择）

5. 导函数在有限区间有界，则函数有解（选择判断是否有界），反之不正确，比如$\sqrt{x}$

6. ${\int }_a^b$发散，不能说明${\int }_a^x$发散，比如${\int }_a^x=\frac{1}{x-b}$,则有${\int }_a^b$发散,但是实际${\int }_a^x=\frac{1}{x-b}$存在。

7. 任意的常数$\alpha >0,与\beta$,有${\lim }_{x->0^{+}}{x}^{\alpha }l{n}^{\beta }x=0$

8. $l{n}^{\prime }(|x|)=\frac{1}{x}$

9. 导数存在的充要条件：左导=右导

10. 微分的概念

11. 若导数的定义极限存在，则f’(x0)存在

12. 函数的导数在某点的导数不存在仍然可能可导，定义求解/取极限

13. 高阶导数的计算公式

14. y=f(x)有反函数g(x)，则：f’(x)g’(y)=1

导数

1. 原函数存在条件：连续或者震荡间断点可能存在原函数
2. 可积的条件：连续||有限个第一类间断点||有界且有限个间断点||单调有界
3. 对称区间上的定积分：
   ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-a}^a[f(x)+f(-x)]dx={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]dx$

级数

1. 级数求和公式：
   整数求和:
   ${\Sigma }_{n=0}^{+inf}{x}^n=\frac{1}{1-x},(-1,1)$
   ${\Sigma }_{n=0}^{+inf}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x{)}^2},(-1,1)$
   ${\Sigma }_{n=0}^{+inf}(n+2)(n+1)x^n=\frac{2}{(1-x{)}^3},(-1,1)$
   含有分式：
   ${\Sigma }_{n=0}^{+inf}\frac{x^{n+1}}{n+1}=-ln(1-x),[-1,1)$
   ${\Sigma }_{n=0}^{+inf}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x},[-1,1]$
   ${\Sigma }_{n=0}^{+inf}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=arctanx,[-1,1]$
   阶乘型：
   ${\Sigma }_{n=0}^{inf}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=sinx,(-inf,inf)$
   ${\Sigma }_{n=0}^{inf}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=cosx,(-inf,inf)$
   ${\Sigma }_{n=0}^{inf}\frac{x^n}{n!}=e^x,(-inf,inf)$

2. 正项级数敛散性：
   充要条件（首先看！！！）：级数收敛，等价于和函数有上界
   比较法：$u_n<=v_n$
   比较法的极限形式：${\lim }_{n->inf}\frac{u_n}{v_n}=l$ (与0比较，等价替换的应用)
   比值法:${\lim }_{n->inf}\frac{u_{n+1}}{u_n}=l$ (与1比较)
   根值法：${\lim }_{n->inf}\sqrt[n]{u_n}$（与1比较）
   积分判别法：非负函数在$[1,inf]$上单减，正项级数和反常${\int }_1^{inf}f(x)dx$ 积分同收敛性
   总结：使用自己的，都是和1比较，不然就是和0比较

3. 莱布尼兹的条件：单调趋于0，是充分非必要条件

4. 条件收敛：加绝对值发散，原级数收敛

5. 若${\Sigma }_{n=1}^{inf}|u_n|$发散，一般不能判定${\Sigma }_{n=1}^{inf}{u}_n$发散（可能条件收敛），但是如果是通过自我比较1得到发散的，则可以确定${\Sigma }_{n=1}^{inf}{u}_n$发散，因为此时${\lim }_{n->inf}|u_n|$！=0，由必要条件可以知道，必然发散；

6. 条件收敛和绝对收敛的关系:条+条=条；条+绝=条

7. 若${\lim }_{n->inf}{u}_n存在$等价为${\Sigma }_{n=1}^{inf}(u_n-u_{n+1})收敛$，例如，判断:${\Sigma }_{n=1}^{inf}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

8. 交错级数不满足莱布尼兹准则的，考虑用定义或性质：
   例如：$\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}+(-1{)}^n}发散$，$\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+(-1{)}^n}}$收敛，$S_{2n}$是单调递减数列，且$S_{2n}>-\frac{1}{\sqrt{2}},S_{2n}$有下界，$\lim S_n=S$所以收敛

9. 数项级数的敛散性证明通常使用比较法

10. 抽象级数敛散性判断：
    发+发=不确定
    正发+正发=正发

11. 抽象结论：
    ${\Sigma }_{n=1}{u}_n收敛，{\Sigma }_{n=1}|v_n|收敛，则{\Sigma }_{n=1}|u_n{v}_n|收敛$（比较审敛）
    ${\Sigma }_{n=1}{u}_n收敛，则{\Sigma }_{n=1}（v_n+u_n）收敛，则{\Sigma }_{n=1}（v_n-u_n）收敛$
    ${\Sigma }_{n=1}(-1{)}^{n-1}{u}_n收敛(u_n>0)，{\Sigma }_{n=1}(u_{2n-1}-u_{2n})收敛,即交错级数收敛，加括号后级数收敛$
    ${\Sigma }_{n=1}{u}_n收敛（$u_n>=0$），则{\Sigma }_{n=1}{u}_n^2收敛,{\Sigma }_{n=1}\sqrt{u_n{u}_{n+1}}收敛，{\Sigma }_{n=1}\sqrt{\frac{u_n}{n}}收敛$（比较审敛）

12. 收敛区间，收敛域

13. 幂级数的运算：
    加法法则
    $R_1!=R_2时，R=min{R}_1,R_2$
    $R_1==R_2时，R>=min{R}_1,R_2$
    乘法法则
    $R=min{R}_1,R_2$

14. 傅里叶级数：
    $f(x)$~$\frac{a_0}{2}+{\Sigma }_{n=1}^{inf}(a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx))$
    $a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$
    $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(nx)dx$
    $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(nx)dx$

积分应用总结

三重积分：

1. 奇偶数对称性：区域对称，带入f相消或者加倍
2. 轮换对称性：关于直线a=b对称,则f中a,b可互换
3. 三重积分的一般换元法：雅可比行列式
4. 球面坐标法：
   $x=rsin\phi cos\theta$
   $y=rsin\phi sin\theta$
   $z=rcos\phi$
   $|J|=r^{2}sin\phi$
5. 转动惯量：$I_x=\int \int \int (y^2+z^2)\rho (x,y,z)dV$

第二型曲线积分：
6. ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
规定正方向：当沿L正方向走的时候，区域D在人的左侧
7. 第一型和第二型曲线的关系：
$(ds{)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2$
$dx=ds\ast cos\alpha ,dy=ds\ast cos\beta$
${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_L[P(x,y)cos\alpha +Q(x,y)cos\beta ]ds$

重要放缩不等式

1. $\frac{x}{x+1}<ln(x+1)<x$