递归式的求解学习笔记

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递归式的求解

      递归式的求解主要有三种方法，分别是代入法、递归树法和主方法。递归式与分治方法紧密相连，因为使用递归式可以很自然地刻画分治算法的运行时间。换言之，对递归式进行求解有助于判断算法的优劣性，进而帮助我们选用更优的算法解决实际问题。

一、代入法求解递归式 

      用代入法对递归式进行求解需要分两步进行：

      1. 猜测解的形式；

      2. 用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。

      在猜测解的形式时，由于并不存在获得正确解的通用方法，因此这一步骤需要经验。一般而言，如果待求递归式的形式似曾相识，则猜测一个类似的解会是一种较便捷的方式。举例而言，假设已知递归式的解为，那么可以假设递归式的解也为，且使用代入法可证明该例子确实如此。除此之外，还有一种猜测方式是，首先证明递归式存在较为宽松的上界和下界，然后不断缩小范围。对于上述例子，可以从下界，上界开始，逐渐降低上界，提升下界，直到两者收敛，得到渐近界。

 

二、递归树法求解递归式

      递归树法也是求解递归式的一种方法。在递归树中，每一个节点表示一个单一子问题的代价，所谓子问题即算法中的递归函数调用。对递归树的每一层求和可以得到每一层的代价；对所有层求和便可以得到总的代价。举例而言，利用递归树法求解的递归式，该式对应的递归树如图1.1所示。

图1.1  递归式的递归树，其高度为（有层）

      因为子问题的规模每一步均减少为上一步的1/4，因此最终必然会达到临界条件。由于深度为i的节点对应的子问题的规模为，因此递归树的层数为层。对于每一层的代价，当深度为i时，每一层的总代价为，另外树的最底层的总代价为，因此，对所有层数求和便可以得到整个递归树的总代价。

      根据上述思路，可以对递归树的所有层次的代价求和，来确定整棵树的代价：

三、主方法求解递归式

      用主方法求解递归式依赖定理1。

      定理1：令和是常数，f(n)是一个函数，T(n)是定义在非负整数上的递归式：

      其中我们将n/b解释为或。那么T(n)有如下渐近界：

      1. 若对某个常数有，则。

      2. 若，则。

    3. 若对某个常数有，且对某个常数和所有足够大的n有，则。