本文介绍了两种解决特定形式递归序列的方法：一种是通过直接转换为等比数列的形式来求解，适用于形如F(n)=aF(n-1)+b的序列；另一种是利用特征方程法，适合于形如F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)的递归关系。通过构造辅助函数并逐步推导，文章详细展示了如何找到这些递归序列的通项公式。
一、求解F(n)=aF(n−1)+bF(n)=aF(n-1)+bF(n)=aF(n−1)+b
解: F(n)=aF(n−1)−ba−1+aba−1F(n)=aF(n-1)-\frac{b}{a-1}+\frac{ab}{a-1}F(n)=aF(n−1)−a−1b+a−1ab
F(n)+ba−1=a(F(n−1)+ba−1)F(n)+\frac{b}{a-1}=a(F(n-1)+\frac{b}{a-1})F(n)+a−1b=a(F(n−1)+a−1b)
同理F(n−1)+ba−1=a(F(n−2)+ba−1)F(n-1)+\frac{b}{a-1}=a(F(n-2)+\frac{b}{a-1})F(n−1)+a−1b=a(F(n−2)+a−1b)
..................
F(2)+ba−1=a(F(1)+ba−1)F(2)+\frac{b}{a-1}=a(F(1)+\frac{b}{a-1})F(2)+a−1b=a(F(1)+a−1b)
F(n)=an−1(F(1)+ba−1)−ba−1F(n)=a^{n-1}(F(1)+\frac{b}{a-1})-\frac{b}{a-1}F(n)=an−1(F(1)+a−1b)−a−1b
二、求解F(n)=aF(n−1)+bF(n−2)F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)F(n)=aF(n−1)+bF(n−2)
特征方程法
令x+y=a,xy=−bx+y=a, xy=-bx+y=a,xy=−b
F(n)=(x+y)F(n−1)−xyF(n−2)F(n)=(x+y)F(n-1)-xyF(n-2)F(n)=(x+y)F(n−1)−xyF(n−2)
F(n)−xF(n−1)=y(F(n−1)+xF(n−2))=yn−2(F(2)−xF(1))F(n)-xF(n-1)=y(F(n-1)+xF(n-2))=y^{n-2}(F(2)-xF(1))F(n)−xF(n−1)=y(F(n−1)+xF(n−2))=yn−2(F(2)−xF(1))
F(n)−yF(n−1)=x(F(n−1)+yF(n−2))=xn−2(F(2)−yF(1))F(n)-yF(n-1)=x(F(n-1)+yF(n-2))=x^{n-2}(F(2)-yF(1))F(n)−yF(n−1)=x(F(n−1)+yF(n−2))=xn−2(F(2)−yF(1))
(x−y)F(n−1)=xn−2(F(2)−yF(1))−yn−2(F(2)−xF(1))(x-y)F(n-1)=x^{n-2}(F(2)-yF(1))-y^{n-2}(F(2)-xF(1))(x−y)F(n−1)=xn−2(F(2)−yF(1))−yn−2(F(2)−xF(1))
F(n)=xn−1(F(2)−yF(1))−yn−1(F(2)−xF(1))x−yF(n)=\frac{x^{n-1}(F(2)-yF(1))-y^{n-1}(F(2)-xF(1))}{x-y}F(n)=x−yxn−1(F(2)−yF(1))−yn−1(F(2)−xF(1))
以上两种方法的本质都是构造一种函数G(x)=dG(x−1)G(x)=dG(x-1)G(x)=dG(x−1). 但是构造的方式略有不同。
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