算法笔记--排列组合

小数据时：C(a,b)
先乘后除不会出现截断以及尽大可能不超数据范围。LL最大C(33,66)；

int ans=1;
for(int i=0;i<=b;i++){
    ans*=(a-i);
    ans/=(i+1);
}

递推写法（可以取膜）

long long c[1005][1005];
void init()
{
    c[1][1]=1;
    for(int i=0;i<=1000;i++) c[i][0]=c[i][i]=1;
    for(int i=2;i<=1000;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
        }
    }
}

数据比较大时用Lucas定理：Lucas(a,b)=C(a,b)%p

C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然除法取模，这里要用到m!(n-m)!的逆元。

根据费马小定理：

已知(a, p) = 1，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p), 所以 a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)。

也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^(p-2) ；

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,p;

LL quick_mod(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    a %= p;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % p;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return ans;
}

LL C(LL n, LL m)
{
    if(m > n) return 0;
    LL ans = 1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        LL a = (n + i - m) % p;
        LL b = i % p;
        ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;
    }
    return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m)
{
    if(m == 0) return 1;
    return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
}

写法二

//求C(n,m)%p p(素数)最大为10^5。a,b可以很大！
#define LL long long
LL PowMod(LL a,　LL b,　LL MOD){
    LL ret　=　1;
    while　(b)　{
        if　(b&1) ret　=　(ret*a)%MOD;
        a　=　(a*a)　%　MOD;
        b　>>=　1;
    }
    return ret;
}
LL fac[100005];
LL Get_Fact(LL p)　{
    fac[0]　=　1;
    for　(int i　=　1;i　<=　p;　i++)
        fac[i]　=　(fac[i-1]*i)%p;
}
LL Lucas(LL n,　LL m,　LL p)　{
    LL ret　=　1;
    while　(n　&&　m)　{
        LL a　=　n%p,　b　=　m%p;
        if　(a　<　b) return 0;
        ret　=　(ret*fac[a]*PowMod(fac[b]*fac[a-b]%p,　p-2,　p))%p;
        n　/=　p;　m　/=　p;
    }
    return ret;
}
int main()　{
    LL n,　m,　p;
    scanf("%I64d　%I64d　%I64d",　&n,　&m,　&p);
    Get_Fact(p);
    printf("%I64d\n",　Lucas(n,　m,　p));

    return 0;
}