LintCode-845: Greatest Common Divisor

最新推荐文章于 2019-08-08 09:05:30 发布

纸上得来终觉浅绝知此事要躬行

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分类专栏： algorithm-design 文章标签： Lintcode

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本文详细介绍了欧几里德算法及其应用，包括最大公约数的定义与计算方法，并提供了递归与迭代两种实现方式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

欧几里德算法：
定理：a 和 b 两个整数的最大公约数等于b 与 a % b的最大公约数
形式化表示：假设a, b!=0, 则gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。
证明：

设 c = gcd(a, b), 则 a = cx, b = cy，且gcd(x,y)=1
可知 a % b = a - k * b = cx - kcy = c (x - ky)
可知 c 也是a % b 的 factor (这里我们证明了c是b和a%b的公约数，下面要证明c是b和a%b的最大公约数，所以要证明y和x-ky互质)

// 下面4,5,6,7证明x - ky与y互质

假设gcd(x - ky, y) = d
则 y = nd, x - ky = md, 则 x = knd + md = (kn + m)d
我们有 a = cd(kn + m)，b = cdn
可得gcd(a,b) >= cd, 又因为gcd(a, b)=c，所以d = 1
综上可得， gcd(a,b)=gcd(b,r)=gcd(b, a%b)。

注意：辗转相除法还可以用于快速求解ax+by=1 (a, b互质)方程的一组整数解

递归版：

int gcd(int a, int b) {
        int big=(a>b)? a:b;
        int small=(a<b)? a:b;
        if (small!=0) 
            return gcd(small, big%small);
        else
            return big;
    }

迭代版：

    int gcd(int a, int b) {
        int big=(a>b)? a:b;
        int small=(a<b)? a:b;
        
        while(small!=0) {
            int temp=small;
            small=big%small;
            big=temp;
        }

        return big;
    }

又看了一下，发现递归版不需要检查big, small，可以直接简写如下：

int gcd(int a, int b) {
    return (b ? gcd(b, a % b) : a);
}

因为如果a < b，那么a%b=a, 所以gcd(b, a%b)就自动切换了大小。