6、稀疏信号处理中的算法解析与实践

稀疏信号处理中的算法解析与实践

1. 贪心算法

贪心算法在解决稀疏信号处理问题中具有重要作用，下面将详细介绍几种贪心算法及其相关特性。

1.1 弱MP算法索引选择条件

在弱MP算法中，对于预先选定的 $t \in (0, 1)$，索引选择条件可表示为 $(a_{j_0}^T r_{k - 1})^2 \geq t^2 \cdot |r_{k - 1}| 2^2 \cdot |a {j_0}|_2^2$。这意味着所选索引指向的列与可能的最大值的差距最多为因子 $t$。若在完整扫描中没有索引满足该条件，则选择搜索过程中找到的最大值对应的索引。这样做虽然可能会使搜索速度加快，但会在一定程度上影响残差的衰减率。

1.2 矩阵归一化

对于一般矩阵 $A$，其列可能不是单位 $\ell_2$ - 范数。可以通过操作 $\tilde{A} = AW$ 对列进行归一化，其中 $W$ 是主对角线元素为 $1 / |a_i| 2$ 的对角矩阵。以下定理表明，贪心算法（OMP、MP 和弱 - MP）在使用原始矩阵 $A$ 或其归一化版本 $\tilde{A}$ 时，会产生相同的解支撑集 $S_k$。
- 证明 ：
- OMP算法 ：在OMP的第 $k$ 步，选择下一个索引 $j_0$ 是通过找到使误差 $\epsilon(j) = |r {k - 1}| 2^2 - (a_j^T r {k - 1})^2 / |a_j| 2^2$ 最小的 $j$。令 $\tilde{a}_j = a_