59、加权二分匹配与最小完美哈希算法研究

加权二分匹配与最小完美哈希算法研究

1. 加权二分匹配算法

1.1 算法概述

在加权二分匹配问题中，我们的目标是在给定的二分图中找到一个最优完美匹配。这里介绍的组合算法结合了对原始边集的匹配算法，其期望运行时间为 (O(n^2 \log n)+o(n^{-1})O(n^3) = O(n^2 \log n))，其中最后一项用于处理修剪后的边集解决方案不是最优的小概率情况。

1.2 整数边权情况

当边权是范围在 ([0, \ldots, C]) 的整数时，我们可以采用 Goldberg 和 Kennedy 的快速缩放算法（带有全局价格更新）用于 MATCHING 算法。此时，MATCHING 算法的运行时间为 (O(\sqrt{nm} \log(nC)))。对于多项式 (C)（即 (C \leq n^c)，其中 (c) 为常数），在大小为 (O(n \log^2 n)) 的修剪边集上，运行时间为 (O(n^{1.5} \log^2(n) \log(nn^c)) = o(n^2))。因此，上述算法的整体运行时间主要由边集修剪和最优性测试（或计算所达到近似因子的上界）决定，这需要 (O(n^2)) 的时间。对于较小的 (C)，需要特殊处理。

1.3 定理 3 证明

假设边权 (w_c(u, v) \in [0, C + 1)) 是连续均匀分布的。根据引理 1，对于任何完美匹配 (\pi)，对于每对节点 ((u, v)) 和足够大的 (\zeta)，在 (D_{G,\pi}) 中很可能存在一条从 (u) 到 (v) 的路径，其权重为 (\frac{\zeta \ln n}{n} (C + 1))，且该路径最多由 (3