算法-归并排序+树状数组-优快云博客

归并排序思想：

1. 划分：将一个区间划分为两半，再分别对左半部分排序和右半部分排序，不断递归，最终递归到区间中只有一个元素。

2. 合并：将两部分区间合并，小的放前面，大的放后面，依次递归（栈原理）。同时用到一个临时数组存放。

模板：

void merge_sort(int a[],int left,int right)
{
    if(left >= right) return; 
    int mid = (left + right)/2;
    merge_sort(a,left,mid);
    merge_sort(a,mid+1,right);
    int k=0,i=left,j=mid+1;
    while(i<=mid && j<=right) 
    {
        if(a[i] <= a[j]) tmp[k++] = a[i++];
        else tmp[k++] = a[j++];
    }
    while(i<=mid) tmp[k++]=a[i++];
    while(j<=right) tmp[k++]=a[j++];

    for(int k=0,i=left;i<=right;i++,k++)
    {
        a[i]=tmp[k];
    }
}

例题：小朋友排队-蓝桥杯真题

做法1：归并排序

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
//归并排序求解
struct node
{
	int id; //得存储编号，记录是哪一个小朋友的交换次数
	int h;
};

node a[N],tmp[N];

int n, ans = 0;
long long b[N];
long long sum = 0;

void merge_sort(node a[], int l, int r)
{
	if (l >= r) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	int i = l, j = mid + 1, k = 0;

	merge_sort(a, l, mid);
	merge_sort(a, mid + 1, r);

	while (i <= mid && j <= r)
	{
		if (a[i].h <= a[j].h)
		{
			b[a[i].id] += j - mid - 1;
			tmp[k++] = a[i++];
		}
		else
		{
			b[a[j].id] += mid - i + 1;
			tmp[k++] = a[j++];
		}
	}
	//处理剩余部分
	while (i <= mid)
	{
		b[a[i].id] += j - mid - 1;
		tmp[k++] = a[i++];
	}
	while (j <= r) tmp[k++] = a[j++];

	for (int i = l, k = 0; i <= r; i++)
	{
		a[i] = tmp[k++];
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i].h;
		a[i].id = i;
	}
	merge_sort(a, 1, n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sum += (b[i] + 1) * b[i] / 2;
	}
	cout << sum << endl;
	return 0;
}

要点：

注意存储小朋友的编号，在后续合并时下表编号会发生改变，若不进行存储会导致，更新每个小朋友被交换的次数时产生错误
在更新交换次数时，分为两部分处理
小朋友的生气值可以采用等差数列求和处理，很巧妙
在合并时，若左边区间产生剩余需要注意更新小朋友的交换次数，右边区间剩余时不用更新。

做法2：树状数组

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

long long a[N], tr[N], b[N]; //a[i]是身高，tr[i]是某些身高出现的次数

//树状数组
int lowbit(int x)
{
	return x & (-x);
}

void add(int x, int y) //插入数值
{
	for (int i = x; i < N; i += lowbit(i))
	{
		tr[i] += y;
	}
}

int query(int x)//查询小于等于x的和
{
	int ans = 0;
	for (int i = x; i != 0; i -= lowbit(i))
	{
		ans += tr[i];
	}
	return ans;
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
		a[i]++; //防止树状数组下标为0，所以把所有人的身高都+1
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
	    add(a[i], 1); 
		b[i] = i - query(a[i]);//统计所有高于a[i]的人的个数
		//统计比a[i]一样高或者比他矮的人的个数，然后求补
		//add(a[i], 1); 
	}
	memset(tr, 0, sizeof tr);
	//逆序构造，从而统计有多少比a[i]矮的人数
	for (int i = n; i > 0; i--)
	{
		b[i] += query(a[i]-1);
		add(a[i], 1);//从第n个人开始构造树状数组，并且实时更新b[i]
	}
	long long sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sum += ((1 + b[i]) * b[i]) / 2;
	}
	cout << sum << endl;
	return 0;
}

要点：

注意树状数组的大小，要设定为1e6+10，因为小朋友身高的取值范围在0-1e6，因为此时的tr[i]，其中的下标 i 是小朋友的身高
将求解生气值转化为求解一个小朋友要被交换的次数 =>求解一个小朋友前面的高个子+后面的矮个子 =>求解有序数组的区间和（即高个子的人数和矮个子的人数）=>用树状数组去维护
tr[] 数组的下标是小朋友的身高，将从小到大插入，tr[] 存放的是某个身高出现的次数。每次query（）只能查询到比当前a[i] 矮的人数。因此要查询某人后面的矮个子数量时候要倒序存储。