高斯分布函數解析

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高斯分布函數解析

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高斯模糊是一種圖像模糊濾波器，它用正態分布計算圖像中每個像素的變換。

N 維空間正態分布方程為

在二維空間定義為

其中 r 是模糊半徑 (r² = u² + v²)，σ 是正態分布的標准偏差。

在二維空間中，這個公式生成的曲面的等高線是從中心開始呈正態分布的同心圓。分布不為零的像素組成的卷積矩陣與原始圖像做變換。每個像素的值都是周圍相鄰像素值的加權平均。原始像素的值有最大的高斯分布值，所以有最大的權重，相鄰像素隨著距離原始像素越來越遠，其權重也越來越小。這樣進行模糊處理比其它的均衡模糊濾波器更高地保留了邊緣效果，參見尺度空間實現。

理論上來講，圖像中每點的分布都不為零，這也就是說每個像素的計算都需要包含整幅圖像。在實際應用中，在計算高斯函數的離散近似時，在大概3σ距離之外的像素都可以看作不起作用，這些像素的計算也就可以忽略。通常，圖像處理程序只需要計算(6σ + 1) * (6σ + 1)的矩陣就可以保證相關像素影響。

除了圓形對稱之外，高斯模糊也可以在二維圖像上對兩個獨立的一維空間分別進行計算，這叫作線性可分。這也就是說，使用二維矩陣變換得到的效果也可以通過在水平方向進行一維高斯矩陣變換加上豎直方向的一維高斯矩陣變換得到。從計算的角度來看，這是一項有用的特性，因為這樣只需要 O(n * M * N) + O(m * M * N)計算，而不可分的矩陣則需要O(m * n * M * N)次計算，其中 M,N 是需要進行濾波的圖像的維數，m、n 是濾波器的維數。

對一幅圖像進行多次連續高斯模糊的效果與一次更大的高斯模糊可以產生同樣的效果，大的高斯模糊的半徑是所用多個高斯模糊半徑平方和的平方根。例如，使用半徑分別為 6 和 8 的兩次高斯模糊變換得到的效果等同於一次半徑為 10 的高斯模糊效果，sqrt(6 * 6 + 8 * 8) = 10。根據這個關系，使用多個連續較小的高斯模糊處理不會比單個高斯較大處理時間要少。

在減小圖像尺寸的場合經常使用高斯模糊。在進行欠采樣的時候，通常在采樣之前對圖像進行低通濾波處理。這樣就可以保證在采樣圖像中不會出現虛假的高頻信息。高斯模糊有很好的特性，如沒有明顯的邊界，這樣就不會在濾波圖像中形成震蕩。

/*

e的x次方的函數
如
exp(1)=e的1次方=e=2.718281828...
exp(0)=e的0次方=1
exp(2)=e的平方=7.3890561...
e是一個常數，等於2.718281828...

*/

 

將原來的模板改為：

     / 1   2   1 /

H = | 2   4   2  | * 1 / 16

     / 1   2   1 /

新的模板可一方面除去點狀噪聲，同時能較好地保留原圖像的對比度，因此該模板得到了廣泛的應用。由於這個模板是通過二維高斯(Gauss)函數得到的，故稱為高斯模板。

 

 

 

 

 

高斯函數有兩個特性：  

  1：一個高斯函數跟另外一個高斯函數的卷積仍然是一個高斯函數，A*B=C   C的標准差的平方是A和B的標准差的平方和，也就是說卷積後的高斯函數更寬，模糊的效果更明顯（直觀上看，連續做高斯模糊運算，圖像會越來越模糊。）  

  2：高斯函數的傅立葉變換仍然是一個高斯函數，如果原來的高斯函數越寬（標准差越大），變換後的高斯函數就越窄（標准差越小），也就是說一個越寬的高斯函數，低通（高阻）濾波的效果越明顯，處理後的圖像的細節就越不清楚（更模糊）。  

   

  要對數字圖像做高斯模糊，就是用一個符合高斯函數分布的卷積核對數字圖像做卷積運算。  

  要確定的有標准差的大小，卷積核的大小，最後的比例系數的大小。  

   

  一個標准差為1.4的高斯5x5的卷積核：  

   

  2   4   5   4   2  

  4   9   12   9   4  

  5   12   15   12   5  

  4   9   12   9   4  

  2   4   5   4   2        

   

  最後乘以比例系數   1/115 

 

http://blog.youkuaiyun.com/jianxiong8814/archive/2007/04/12/1562728.aspx