18、色盲细胞自动机：特性与分类解析

色盲细胞自动机：特性与分类解析

在细胞自动机的研究领域中，色盲细胞自动机（Color Blind Cellular Automata）展现出了独特的性质和行为模式。本文将深入探讨两类特殊的色盲细胞自动机：盲态细胞自动机（Typhlotic Cellular Automata）和同态色盲细胞自动机（Homomorphic Color Blind Automata），分析它们的特性、分类以及相关的理论依据。

盲态细胞自动机

盲态细胞自动机并非总是平凡的。例如，当字母表 (S) 的元素个数 (|S| = 2) 时，定理 1 中给出的内在通用细胞自动机实际上就是盲态的，并且每个二进制多数细胞自动机也是盲态的。这些细胞自动机本身就是色盲的，只需验证它们与非置换的符号映射（即常量映射 (s \to 0) 和 (s \to 1)）可交换，而这可以从它们是俘获型细胞自动机这一事实轻松得出。

然而，当字母表 (S) 的元素个数超过两个时，情况会发生巨大变化。例如，作为定理 2 的一个推论，一个三元色盲多数细胞自动机除非其邻域大小为 1，否则不可能是盲态的。定理 2 的证明基于一些较为通用的集合论知识，即证明了盲态细胞自动机由其邻域上的超滤器定义，而有限集上的超滤器非常简单。

下面我们来看超滤器的两个特征描述：
- 引理 4 ：设 (X) 是非空集合，(k \in N) 且 (k \geq 3)，(Q \subset 2^X) 具有对于 (X) 的所有划分 ((A_1, \ldots, A_k))，恰好有一个 (A_i) 属于 (Q) 的性质。那么 (Q) 是一个超滤器。此外，每个超滤器对于每个 (k \geq 1) 都满足该性质。