浅谈K短路算法（KSP）之一（A*算法求解）

对于具有n个顶点和m条边且边的权值非负的简单图（无重边和环），K短路，是指的起点s到终点t的最短路径中第k个最小的。K短路分为有限制的K短路和无限制的K短路，有限制的K短路是指求得的路径中不含有回路（路径上任何一个节点的出现次数不大于1次），无限制的K短路则对求得的路径中没有要求，这篇博客先讨论前者，后讨论后者。

本篇博客中使用的无向图实例如下图所示

如上图所示，求解节点A至节点C的K短路。本篇博客主要使用经典的A*算法。

1 A*算法简介。

通用图搜索路径常用的启发式搜索

其中f(x)称为评估函数，g(n)为从初始节点S到节点n的实际代价，h(n)是从节点n到目标节点T的最 优路径的评估代价，被称为启发式函数，它体现了问题的启发式信息。

由此引出A*算法：

定义评估函数：

在上式中，g*(n)是从起始节点S到节点n的最短路径的代价，h*(n)是从节点n到目标节点T的最短路径的代价。shi因为有可能最短路径还没找到，所以一般情况下有g(n)>=g*(n)

  同时h(n)<=h*(n)，就是说h(n)是h*(n)的下界，这个限制确保A*算法可以找到最优解。对于一个问题，启发式函数h(n)的设计通常有多种，一般有如下关系

（1）h(n)=0，A*算法退化为dijkstra算法，可以找到最优解

（2）h(n)<=h*(n)，A*算法可以找到最优解，不过收敛速度较慢，h(n)越小，收敛速度越慢

（3）h(n)=h*(n)，A*算法可以找到最优解，收敛速度很快，扩展的节点全是最短路径上的点

（4）h(n)>h*(n)，A*算法不一定能找到最优解，但收敛速度很快。

2 求解过程

用A*算法求解K短路问题，可以概括为如下步骤。首先，定义评估函数

，其中g(n)是从起始节点S到达节点的n的实际代价，定义为从起始节点S到达节点n的路径上所经过边的权值之和，h(n)为从节点n到达目标节点的最短路径的代价，记为dis[]，实现的方法是构建反图，以终点T为起点对全图进行一次dijkstra算法得到（在这里，h(n)=h*(n)），以上图为例，从节点C到各个节点的dis值如下：

dis[C]=0,dis[B]=2,dis[A]=3,dis[D]=4

定义如下结构：queue[]为优先级队列，count[]为节点出现的次数。这样f(n)代表从起点节点到目标节点的最短路径的费用。刚开始，queue[]只有起始节点，算法步骤如下

（1）从优先级队列选取队头元素，如果fx值相同则选取gx较小的

（2）用队头元素去更新其子女节点的f(n)值，并将子女节点入队

（3）当取出的队头元素是终点时，计算其出现次数，若是K次，算法结束，否则将其子女入队。

对上图，求解节点A到节点C的K短路，具体的求解过程如下：

(b)queue[]={A}

g(1)=0,h(1)=dis[A]=3;

f(1)=g(1)+h(1)=0+3=3;

(b)节点A出队，其子女节点B、C、D入队，

 用f(1)更新其子女节点B、C、D的f值

g(2)=g(1)+w(A-B)=0+1=1(w(A-B)代表边A-B的权值)

h(2)=dis[B]=2；

f(2)=g(2)+h(2)=1+2=3；对应节点为B

g(3)=g(1)+w(A-C)=0+4=4;

h(3)=dis[C]=0;

f(3)=g(3)+h(3)=4+0=4；对应节点为C；

g(4)=g(1)+w(A-D)=0+1=1;

h(4)=dis[D]=4;

f(4)=g(4)+h(4)=1+4=5;对应节点为D

queue[]={2,3,4}

(c)节点2出队，