浅谈K短路算法（KSP）之二（YEN .J算法求解）

最新推荐文章于 2025-08-17 18:06:14 发布

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#算法 #图论

该博客详细介绍了如何使用Yen算法求解无向图中起点到终点的K条最短路径。算法基于偏离路径思想，通过不断偏离现有最短路径找到新的候选路径。博客中给出了具体步骤和一个示例图，展示了一个6顶点9边的图的K短路求解过程，并提供了C++代码实现。

对于具有n个顶点和m条边且边的权值非负的简单图（无重边和环），K短路，是指的起点s到终点t的最短路径中第k个最小的。K短路分为有限制的K短路和无限制的K短路，有限制的K短路是指求得的路径中不含有回路（路径上任何一个节点的出现次数不大于1次），无限制的K短路则对求得的路径中没有要求，这篇博客讨论后者。

1、基础理论

1.1 偏离路径

算法主要使用了偏离路径的思想，主要概念如下：

偏离点：两条路径中按顺序出现最后一个相同的点，即出现的第一个不相同的点的前一个点，也可以理解为从偏离点开始，两条路径开始不同

偏离边：两条路径中出现的第一条不相同的边

偏离路径：从偏离点到终点N的路径

设在一个图中有如下两条最短路径p1、p2，起点为节点0，终点为节点5，见上图所示，每条路径经过的顶点如下：

p1:0-2-3-5

p2:0-2-4-5

则p2相对于p1的偏离点是节点2，p2相对于p1的偏离边是2-4，p2相对于p1的偏离路径为2-4-5。

1.2 相关定义

在Yen的算法中，首先定义如下：

$A^{k}=1-(2^{k})-(3^{k})-...-Q_{k}^{k}-(N),k=1,2,3,...K$ ,是从起点到终点N的第K短路，其中 $2^{k}$ 、 $3^{k}$ 、... $Q^{k}$ 代表第K短路经上第2个、第3个、第k个节点

$A^{k}$ ：第k条最短路径

$A^{k-1}$ ：第k-1条最短路径

$A^{j},j=1,2,...k-1$ 是个集合，代表前k-1个最短路径的集合

$A^{k}$ 是通过 $A^{j},j=1,2,...k-1$ 求得的，求得的方式如下：

设 $i$ =1,2,3,.. $Q_{k-1}$ $i=1,2,3,...Q_{k-1}$ 代表 $A^{k-1}$ 路径上按照顺序的每个节点，在 $A^{k-1}$ 路径上，从节点1到节点 $i$ 的路径设为 $R_{i}^{k}$ ，在节点 $i$ 上偏离至一个新节点，设此新节点为 $i+1$ ,要求此 $i+1$ 节点不与集合 $A^{j},j=1,2,...k-1$ 在节点 $i$ 上的下一个节点相同，同时计算通过新节点 $i+1$ 到达终点N的最短偏离路径，记为 $S_{i}^{k}$ ， $S_{i}^{k}$ 路径中的节点不能 $R_{i}^{k}$ 中的节点相同，则 $A_{i}^{k}=R_{i}^{k}+S_{i}^{k}$ ,代表的是在偏离节点 $i$ 上，相对于 $A^{k-1}$ 的偏离路径。由上述步骤可知， $A_{i}^{k}$ 是无环的。

2 求解步骤

下面给出具体的求解 $A^{k}$ 的步骤。

首先维护两个链表ListA，ListB，ListA是已求得 $A^{k}$ 的集合，ListB是 $A^{k}$ 的候选集合

（1）求 $A^{1}$ 。 $A^{1}$ 的求得方式很多，dijkstra,spfa等。在Yen的论文中，求 $A^{1}$ 是用Yen自己的方法，使用的图是不带负环的图。

（2）对于 $i=1,2,3,...Q_{k-1}$ 代表 $A^{k-1}$ 路径上按照顺序的每个节点，已经求得 $A^{j},j=1,2,...k-1$ ，如果 $i$ 节点在集合 $A^{j}$ 中出现过，设 $d_{iq}$ =∞,其中q是 $A^{j}$ 集合中的 $i+1$ 节点。（ $i$ 节点至少在 $A^{k-1}$ 路径上出现过），结束本次循环后， $d_{iq}$ 恢复原值。