Codeforces Round #814 (Div. 2) D Burenka and Traditions dp

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#算法 #c++ #动态规划

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本文探讨了一种问题：通过异或操作使一个序列变为0的最节省成本策略。关键在于利用异或性质和区间处理优化，通过O(n^2)复杂度的代码实现，并介绍了如何通过记录上一个异或和位置进行改进。

给你一个序列，每次可以选择一个数 $x$ ，将 $[l, r]$ 段内所有数异或上 $x$ ，花费 $⌈r−l+12⌉\lceil \frac{r-l+1}2{}\rceil$ ，问最少花费多少能够让整个序列都变成0
可以发现在区间上处理不会优于区间内部
根据异或性质， $x⨁x⨁x=xx\bigoplus x\bigoplus x=x$ ，我们可以枚举两个区间端点 $i,j,0≤j<ii,j,0\leq j<i$ ，如果 $pre[i]⨁pre[j]=0pre[i]\bigoplus pre[j]=0$ ，那么说明 $[j + 1, i]$ 区间可以在前面基础上再 $i - j - 1$ 次异或全部成为0. $(i - j - 1 + 1 - 1)$
设 $f [i]$ 表示前 $i$ 个数处理的最少次数，那么我们能够写出 $O(n^2)$ 的代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);
  int t;
  cin >> t;
  while(t--){
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), pre(n + 1);
    vector<int> f(n + 1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
      cin >> a[i];
      pre[i] = pre[i - 1] ^ a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
      f[i] = f[i - 1] + 1;
      for(int j=0;j<i;j++){
        if(pre[i] == pre[j]){
          f[i] = min(f[i], f[j] + i - j - 1);
        }
      }
    }
    cout << f[n] << '\n';
  }
  return 0;
}

考虑优化，里面的循环是在寻找上一个异或和等于当前的位置，这个可以记录下来

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);
  int t;
  cin >> t;
  while(t--){
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), pre(n + 1);
    vector<int> f(n + 1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
      cin >> a[i];
      pre[i] = pre[i - 1] ^ a[i];
    }
    map<int, pair<int, int> > mp;
    mp[0] = {0, 0};
    for(int i=1;i<=n;i++){
      f[i] = f[i - 1] + 1;
      if(mp.count(pre[i])){
        f[i] = min(f[i], mp[pre[i]].first + i - mp[pre[i]].second - 1);
        if(mp[pre[i]].first > f[i]){
          mp[pre[i]] = {f[i], i};
        }
      }
      mp[pre[i]] = {f[i], i};
    }
    cout << f[n] << '\n';
  }
  return 0;
}