Codeforces Round #757 (Div. 2) C. Divan and bitwise operations

这个题实在太巧了

给你一个数组的元素个数，给出若干个区间的或和，问任意一个合法的原序列的所有子序列的区间异或和是多少

• 或的特点是二进制位只要有一个1，结果的对应位置就是1，可以想一下，给出这若干个区间信息，想要还原数组基本不太可能，而且就算是还原出了原来的数组，我们又怎么算这所有子序列的异或和呢？这个思路不靠谱

• 单独考虑某一位上的数字，如果这个数字在给出的区间范围内没有体现，那它就不会出现在答案中；否则要考虑子序列中该位对应的数出现奇数次和偶数次这两种情况，如果是偶数次，它对答案的贡献也是0；如果是奇数次，那么这个结论是包含第$i$位的子序列个数是$2^{n-1}$

• 知道这个结论以后，因为每个位之间是并列关系，所以我们分别考虑每一位然后加一起就是答案，比如说现在给我们$l,r,x$，假设都是对于某一位的，举一些例子$$\begin{gathered} a_1|a_2|a_3=x_1 \\ {a}_3|a_4|a_5|a_6=x_2 \\ {a}_8|a_9|a_{10}=x_3 \end{gathered}$$

• 上面例子随便举的，那我们合并一下，就可以得到$a_1|a_2|a_3|a_4|a_5|a_6|a_8|a_9|a_{10}=x_1|x_2|x_3$，那么我们给这些数的这一位都标上一样的数字，如果右侧是0，那么全标0，否则全标1，那么这里面0的情况对答案的贡献是0，不用管，所以答案就是$x\times 2^{n-1}$

• 感觉他们能秒了这个题肯定是早就知道这个结论

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;
ll fastpow(ll base, ll power, ll mod){
    ll ans = 1;
    while(power){
        if(power & 1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        power >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--){
        ll l, r, x;
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        ll ans = 0;
        for(int i=0;i<m;i++){
            cin >> l >> r >> x;
            ans |= x;
        }
        cout << ans * fastpow(2ll, n - 1, MOD) % MOD << '\n';
    }
    return 0;
}

• 按照官方题解思路对此结论进行证明，把第$i$位为0的标号划分为集合$A$，把第$i$位为1的标号划分为集合$B$， 因为$x\oplus 0=x$，所以无论如何选择$A$中元素都不会影响答案，所以这一部分数量是$2^{|A|}$；对于集合$B$，因为都是1，所以只需要考虑异或出来是1的组合即可，这部分的数量为$\left(\begin{array}{c}|B|\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}|B|\\ 3\end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c}|B|\\ |B|-k\end{array}\right)=2^{|B|-1}$，当$B$为偶数时$k$为$1$，当$B$为奇数时，$k$为$0$
• 把$A$和$B$组合在一起，答案就是$2^{|A|}\times 2^{|B|-1}=2^{n-1}$

备注 $$(1-x{)}^n=C_n^0(-1{)}^0{x}^0+C_n^1(-1{)}^1{x}^1+...+C_n^n(-1{)}^n{x}^n$$
令$x=1$得到
$$C_n^0+C_n^2+...+C_n^{n-(n\&1)}=C_n^1+C_n^3+...+C_n^{n-(!(n\&1))}$$