单调队列：高效解决滑动窗口极值

单调队列的概念

单调队列是一种特殊的队列数据结构，其元素按照一定的单调性（递增或递减）排列。它主要用于维护滑动窗口内的极值（最大值或最小值），时间复杂度通常为O(n)，相比暴力解法有显著优化。

单调队列的基本操作

单调队列的核心操作包括入队和出队，确保队列始终满足单调性：

• 入队操作：新元素入队时，从队尾开始移除破坏单调性的元素，再将其加入队尾。
• 出队操作：若队首元素超出滑动窗口范围，则将其移除。

单调队列的实现示例

以维护滑动窗口最大值为例，以下是Python实现代码：

from collections import deque

def maxSlidingWindow(nums, k):
    dq = deque()
    result = []
    for i in range(len(nums)):
        # 移除队首超出窗口范围的元素
        while dq and dq[0] < i - k + 1:
            dq.popleft()
        
        # 移除队尾小于当前元素的元素
        while dq and nums[dq[-1]] < nums[i]:
            dq.pop()
        
        dq.append(i)
        if i >= k - 1:
            result.append(nums[dq[0]])
    return result

单调队列的应用场景

单调队列常用于解决以下问题：

• 滑动窗口最大值/最小值。
• 区间最值查询优化。
• 动态规划中的状态转移优化。

单调队列与优先队列的区别

• 单调队列：通过严格维护单调性，保证队首元素为当前窗口的最值，时间复杂度均摊O(1)。
• 优先队列：基于堆实现，获取最值的时间复杂度为O(logn)，但无法高效处理滑动窗口问题。

复杂度分析

• 时间复杂度：每个元素最多入队和出队一次，整体复杂度为O(n)。
• 空间复杂度：队列最多存储k个元素，复杂度为O(k)。

通过合理使用单调队列，可以高效解决滑动窗口类问题，显著降低算法复杂度。