有限码长下无人机安全通信优化

基于有限码长的无人机安全通信

摘要

在适用于实际应用的有限码块长度场景下，提出了一种通过 优化无人机轨迹和发射功率来最大化平均有效保密速率（AESR）的方 法，同时满足无人机的移动性约束和发射功率约束。为解决所构建的非 凸优化问题，首先将其分解为两个非凸子问题；然后分别利用一阶近似 将这两个子问题转化为两个凸子问题；最后基于连续凸逼近（SCA）技 术，通过迭代求解这两个子问题，设计出一种交替迭代算法。数值结果 表明，与基准方案相比，所提出的方案可使AESR性能提升6%至13%。

索引词 —无人机通信，物理层安全，轨迹优化，发射功率优化，有限码块长 度。

I. 引言

近年来，由于成本低、移动灵活以及视距（LoS）信道概率 高等优势，无人机（UAVs）在无线通信领域受到了广泛关注[1]。例如，在[2]中，一架无人机被用作空中基站，以时分多址（TDMA）方式与地面用户进行通信。通过优化无人机轨迹和用户调度，可实现最大‐最小平均速率。此外，文献[3]还考虑了多无人机以协作方式运行的场景。进一步地，当发射机与接收机之间不存在直连链路时，无人机还可充当移动中继[4]。

另一方面，由于无线通信具有广播特性[5]，容易受到窃听 和攻击。同时，由于空对地视距信道的存在，无人机网络面临的潜在窃听和攻击问题更为严重。因此，无人机网络的安全性已受到广泛关注。例如，文献[6]的作者通过联合优化最大化保密速率无人机轨迹和发射功率。为了进一步提高物理层安全（PLS）性 能，[7]的作者考虑了双无人机的情况，其中一架用于传输机密信息（CI），而另一架用于发送人工噪声（AN），以防止窃听者（Eves）进行窃听。最近的研究[8]探讨了一种无人机支持的移动边缘计算系统，其中全双工合法无人机与非卸载地面用户共同发送人工噪声（AN），以应对空中窃听无人机的威胁。此外，为了隐藏发射机的传输行为，[9],[10],[11]和[12]将无人机网络与隐蔽通信相结合，从而提供更高级别的安全保护。

上述与物理层安全（PLS）相关的工作均假设通信初始化（CI）具有无限码块长度。然而，这一假设在实际中无法实现。特别是在无人机网络中，无人机的飞行周期通常被离散化为 N 个时隙，以方便设计无人机轨迹，并假设每个时隙的持续时间足够小，以提高近似精度[6]–[8],[11]。因此，无限码块长度的假设可能影响该近似的有效性，因为在如此短的时隙内无法传输具有无限码块长度的数据包。此外，具有无限码块长度的数据包也无法满足5G无线系统某些应用对超可靠低延迟通信（URLLC）的需求，例如工厂自动化和自动驾驶车辆，这些应用要求在1毫秒的端到端延迟内实现至少99.999%的可靠性[13]–[15]。因此，将采用有限码块长度的数据包来克服这些缺陷。在这种情况下，大数定律不再适用，接收机处的热噪声和失真无法被平均消除[16]。因此，导致[6]–[8],[11]结果的保密速率表达式不能直接使用[17],[18]。

受上述原因的启发，本文研究了基于有限码块长度的无人机（UAV）使能安全通信，其中无人机在伊芙（Eve）存在的情况下，向合法用户（鲍勃）以有限码块长度传输通信初始化（CI）信息。为了保证所考虑系统的通信安全，本文旨在通过联合优化无人机轨迹和发射功率，在满足无人机移动性和发射功率约束的条件下，最大化平均有效保密速率（AESR）。本文的主要贡献总结如下。

• 首次，我们考虑了有限码块长度下的无人机安全通信。利用关于窃听信道在有限码块长度下信息论界的成果来近似所考虑系统的平均有效保密速率，这与前述考虑无限码块长度的研究成果有显著不同。
• 所构建的优化问题是非凸的，难以直接求解。因此，我们首先将其分解为两个非凸子问题；然后基于一阶近似将这两个子问题转化为凸子问题；最后提出一种基于连续凸逼近（SCA）技术的交替迭代算法来求解该优化问题。
• 数值结果表明，码块长度对无人机轨迹影响较小，但对其发射功率影响较大。此外，从平均有效保密速率的角度来看，所提出的交替迭代算法显著优于两种基准方案。

本文其余部分组织如下：在第二节中，我们介绍了系统模型并建立了优化问题。然后，在第三节中提出了一种交替迭代算法来求解所建立的优化问题。第四节提供了数值结果，以证明所提算法的有效性。最后，在第五节中得出了结论。

II. 系统模型与问题表述

如图1所示，我们考虑一个无人机使能的安全通信系统，其中无人机作为空中基站向鲍勃传输通信初始化信息，并防止潜在的伊芙获取该信息。潜在的伊芙可能在当前场景中无法访问通信初始化信息，但在其他场景中可能是合法用户，因此无人机可以预先知晓伊芙的位置。与传统的假设通信初始化采用无限块长度的无人机支持的安全通信系统不同，我们考虑通信初始化采用有限码块长度的情况。为了便于表述，我们考虑一个三维（3D）笛卡尔坐标系，其中鲍勃和伊芙分别位于 $ w_b = [x_b, y_b, 0]^T $ 和 $ w_e = [x_e, y_e, 0]^T $。无人机在飞行周期 $ T $ 内的轨迹可表示为 $ q(t) = [x(t), y(t), H]^T, 0 \leq t \leq T $，其中 $ H $ 表示固定的飞行高度。

为简化起见，飞行周期 $ T $ 被等分为 $ N $ 个持续时间为 $ \delta_t = T/N $ 的时隙。因此，无人机的轨迹可以离散化为一个序列 $ q[n] = [x[n], y[n], H]^T, 1 \leq n \leq N $。然后，无人机的移动性约束（）可以详细描述为

$$
|q[n+1] - q[n]| \leq V_{\text{max}} \delta_t, \quad n = 1, 2, …, N - 1, \tag{1a}
$$
$$
q[1] = q_I, \quad q[N] = q_F, \tag{1b}
$$

其中 $ V_{\text{max}} $ 表示无人机最大飞行速度，$ q_I = [x_I, y_I, H]^T $ 和 $ q_F = [x_F, y_F, H]^T $ 分别表示无人机的预设起始和终止位置。

在本研究中，假设所有节点均配备单天线。此外，假设无人机至鲍勃和伊芙的通信链路主要由视距信道主导。因此，在时隙 $ n $ 中，无人机至鲍勃和伊芙的信道功率增益可分别表示为

$$
h_i[n] = \frac{\zeta_0}{d_i^2[n]} = \frac{\zeta_0}{|q[n] - w_i|^2}, \quad i \in {b, e}, \forall n, \tag{2}
$$

其中 $ d_i[n] = |q[n] - w_i| $ 表示无人机在时隙 $ n $ 内到鲍勃和伊芙的距离，$ \zeta_0 $ 表示参考距离 $ d_0 = 1 \, \text{m} $ 处的信道功率增益。假设无人机在时隙 $ n $ 的发射功率表示为 $ P[n] $。考虑平均和瞬时功率限制，发射功率约束(3)可完整表示为

$$
\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} P[n] \leq \bar{P}, \tag{3a}
$$
$$
0 \leq P[n] \leq P_{\text{max}}, \quad \forall n, \tag{3b}
$$

其中 $ \bar{P} $ 和 $ P_{\text{max}} $ 分别表示最大平均和瞬时发射功率。此处，约束(3a)表明用于传输CI的能量必须受到限制，以确保无人机保留足够的能量来完成整个飞行任务。然后，根据[17]和[19]，可近似得到时隙 $ n $ 中每信道使用比特数(BPCU)的保密速率下界

$$
R_s[n] = \left[\log_2(1+ \gamma_b[n]) - \log_2(1+ \gamma_e[n]) - \sqrt{\frac{V_b[n]}{L}} Q^{-1}(\varepsilon) \ln 2 - \sqrt{\frac{V_e[n]}{L}} Q^{-1}(\varepsilon) \ln 2\right]^+, \forall n, \tag{4}
$$

其中运算 $[x]^+ = \max{x, 0}$，$ Q^{-1}(x) $ 是高斯Q函数 $ Q(x) = \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2} dt $ 的逆函数。我们注意到，(4)中的 $ L $ 表示块长度，$ \varepsilon $ 和 $ \varepsilon $ 分别表示鲍勃处的译码错误概率和伊芙处的信息泄露。

$ \gamma_i[n] $ ($ i \in {b, e} $) 在(4)中由下式给出

$$
\gamma_i[n] = \frac{P[n] h_i[n]}{\sigma^2} = \frac{\xi_0 P[n]}{|q[n] - w_i|^2}, \quad i \in {b, e}, \forall n, \tag{5}
$$

表示鲍勃和伊芙处的信噪比（SNRs），其中 $ \sigma^2 $ 是鲍勃和伊芙处的加性白高斯噪声（AWGN）功率，且 $ \xi_0 = \zeta_0 / \sigma^2 $。$ V_i[n] $（$ i \in {b, e} $）是时隙 $ n $ 中鲍勃和伊芙的信道色散，其表达式为[17],[19]

$$
V_i[n] = 1 - (1 + \gamma_i[n])^{-2}, \quad i \in {b, e}, \forall n. \tag{6}
$$

值得指出的是，(4)中的最后两项可以视为在有限码块长度情况下，由于鲍勃处不可避免的译码错误概率以及伊芙处的信息泄露而对保密速率施加的惩罚。显然，对鲍勃处的译码错误概率和伊芙处的信息泄露的约束越严格，可实现保密速率就越小。

由于有限码块长度导致鲍勃处的译码错误概率不可忽略，我们的目标是在移动性约束和发射功率约束下，通过联合优化无人机轨迹和发射功率来最大化平均有效保密速率[19]，其表达式由 $ \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} R_s n $ 给出。相应的优化问题被表述为

$$
\max_{Q, P} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} R_s n \tag{7a}
$$
$$
\text{s.t.} \quad (1), (3), \tag{7b}
$$

其中，$ Q = {q[n], \forall n} $ 表示无人机轨迹，$ P = {P[n], \forall n} $ 表示无人机在 $ N $ 个时隙内的发射功率。在(7a)中，去除了操作 $[x]^+ $，因为如果存在某些时隙 $ n $ 使得 $ R_s[n] < 0 $ 成立，则我们总可以设置 $ P[n] = 0 $ 并将 $ R_s[n] $ 增加至0，而不会违反功率约束(3)。需要指出的是，问题(7)可转化为标准的单调优化问题，并通过多面体外逼近（POA）算法[20],[21]进行最优求解。然而，POA算法的复杂度至少随 $ N $ 呈指数增长，这在实际中是不可行的。因此，在下一节中，我们提出一种高效的交替迭代算法来求解问题(7)的次优解。

III. 提出的交替迭代算法

为了便于处理问题(7)，我们引入松弛变量 $ U_i = {u_i[n], \forall n} $ 和 $ Z_i = {z_i[n], \forall n}, i \in {b, e} $，然后问题(7)可以重新表述为

$$
\max_{Q, P, U_i, Z_i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \tilde{R}_s n \tag{8a}
$$
$$
\text{s.t.} \quad (1), (3), \tag{8b}
$$
$$
u_i[n] \geq \frac{\xi_0 P[n]}{|q[n] - w_i|^2}, \quad i \in {b, e}, \forall n, \tag{8c}
$$
$$
z_i^2[n] \geq 1 - (1 + u_i[n])^{-2}, \quad i \in {b, e}, \forall n, \tag{8d}
$$
$$
z_i[n] \geq 0, \quad i \in {b, e}, \forall n, \tag{8e}
$$

其中

$$
\tilde{R}_s[n] = \log_2\left(1 + \frac{\xi_0 P[n]}{|q[n] - w_b|^2}\right) - \log_2(1 + u_e[n]) - \frac{z_b[n] Q^{-1}(\varepsilon)}{\sqrt{L} \ln 2} - \frac{z_e[n] Q^{-1}(\varepsilon)}{\sqrt{L} \ln 2}, \forall n. \tag{9}
$$

在问题(8)中，约束(8c)将问题(7)转化为更易处理的形式。约束(8d)和(8e)确保了下文提出的迭代算法的顺利运行。值得指出的是，问题(8)与问题(7)是等价的，因为在最优解处约束(8c)和(8d)均以等式形式成立；否则，我们总可以通过减小松弛变量的值来提高目标值。然而，由于目标函数(8a)关于 $ Q $、$ P $ 和 $ U_e $ 是非凹的，且约束(8c)和(8d)为非凸的，因此问题(8)是一个非凸优化问题，难以求解。为此，下文首先将问题(8)分解为两个子问题，然后将这两个子问题转化为凸优化问题，最后提出一种交替迭代算法，并结合SCA技术来求解所构造的问题。

A. 轨迹优化

对于给定的可行发射功率 $ P $，问题(8)可以简化为

$$
\max_{Q, U_i, Z_i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \tilde{R}_s n \tag{10a}
$$
$$
\text{s.t.} \quad (1), (8c)-(8e). \tag{10b}
$$

然而，问题(10)仍然是非凸的，因为目标函数(10a)是非凹的，且约束(8c)和(8d)是非凸的。接下来，我们重点将问题(10)转化为一个凸优化问题。

首先，我们引入松弛变量 $ L_i = {l_i[n], \forall n}, i \in {b, e} $，并将约束(8c)等价地重写为

$$
u_i[n] \geq \frac{\xi_0 P[n]}{l_i[n]}, \quad i \in {b, e}, \forall n, \tag{11a}
$$
$$
|q[n] - w_i|^2 \geq l_i[n], \quad i \in {b, e}, \forall n. \tag{11b}
$$

约束(11a)现在是凸的，但由于凸函数的上水平集，约束(11b)仍然是非凸的。众所周知，一个凸（凹）函数由其一阶泰勒展开进行下（上）界限定。这促使我们采用一阶近似技术来处理非凸约束(11b)。具体而言，项 $ |q[n] - w_b|^2 $ 可用其一阶泰勒展开代替。因此，对于给定的可行点 $ \hat{q}[n] $，约束(11b)可被近似为

$$
|\hat{q}[n] - w_i|^2 + 2(\hat{q}[n] - w_i)^T(q[n] - \hat{q}[n]) \geq l_i[n], \quad i \in {b, e}, \forall n, \tag{12}
$$

现在是一个凸约束。

对于约束条件(8d)，我们观察到它具有凸函数上水平集的形式，可以通过其一阶凸近似进行逼近。因此，对于给定的可行点 $ \hat{z}_i[n] $ 和 $ \hat{u}_i[n] $，约束条件(8d)可以被近似为

$$
\hat{z}_i^2[n] + 2\hat{z}_i n \geq 1 - (1 + \hat{u}_i[n])^{-2} + 2(1 + \hat{u}_i[n])^{-3}(u_i[n] - \hat{u}_i[n]), \quad i \in {b, e}, \forall n. \tag{13}
$$

对于目标函数(10a)，我们观察到目标函数中的 $ \tilde{R}_s[n] $ 关于 $ |q[n] - w_b|^2 $ 和 $ u_e[n] $ 是联合凸的。因此，可以使用一阶近似技术来构造 $ \tilde{R}_s[n] $ 的下界，该下界可表示为

$$
\tilde{R} s[n] \geq \log_2\left(1 + \frac{\xi_0 P[n]}{|\hat{q}[n] - w_b|^2}\right) - \frac{\xi_0 P n }{|\hat{q}[n] - w_b|^2 (|\hat{q}[n] - w_b|^2 + \xi_0 P[n]) \ln 2} - \log_2(1 + \hat{u}_e[n]) - \frac{u_e[n] - \hat{u}_e[n]}{(1 + \hat{u}_e[n]) \ln 2} - \frac{z_b[n] Q^{-1}(\varepsilon)}{\sqrt{L} \ln 2} - \frac{z_e[n] Q^{-1}(\varepsilon)}{\sqrt{L} \ln 2} \triangleq \tilde{R} {s,q}^{lb}[n], \forall n \tag{14}
$$

经过上述变换后，问题(10)可以被重新表述为

$$
\max_{Q, U_i, Z_i, L_i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \tilde{R}_{s,q}^{lb} n \tag{15a}
$$
$$
\text{s.t.} \quad (1), (8e), (11a), (12), (13). \tag{15b}
$$

问题(15)是一个凸优化问题，可以通过CVX[22]等优化工具高效求解。

B. 发射功率优化

对于给定的可行无人机轨迹 $ Q $，问题(8)可以简化为

$$
\max_{P, U_i, Z_i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \tilde{R}_s n \tag{16a}
$$
$$
\text{s.t.} \quad (3), (8c)-(8e). \tag{16b}
$$

显然，由于 $ \tilde{R}_s[n] $ 第二项的凸性以及约束条件(8d)的非凸性，问题(16)是非凸的。类似于前一子节中的处理过程，约束条件(8d)可被近似为约束条件(13)。对于目标函数(16a)，我们可以采用一阶近似方法来构造 $ \tilde{R}_s[n] $ 的下界，具体如下：

$$
\tilde{R} s[n] \geq \log_2\left(1 + \frac{\xi_0 P[n]}{|q[n] - w_b|^2}\right) - \log_2(1 + \hat{u}_e[n]) - \frac{u_e[n] - \hat{u}_e[n]}{(1 + \hat{u}_e[n]) \ln 2} - \frac{z_b[n] Q^{-1}(\varepsilon)}{\sqrt{L} \ln 2} - \frac{z_e[n] Q^{-1}(\varepsilon)}{\sqrt{L} \ln 2} \triangleq \tilde{R} {s,p}^{lb}[n], \forall n \tag{17}
$$

然后，问题(16)可被近似为

$$
\max_{P, U_i, Z_i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \tilde{R}_{s,p}^{lb} n \tag{18a}
$$
$$
\text{s.t.} \quad (3), (8c), (8e), (13). \tag{18b}
$$

问题(18)是一个凸优化问题，可以通过CVX[22]高效求解。

C. 总体算法

在前面两个小节中，我们已将轨迹优化子问题和发射功率优化子问题转化为凸优化问题。在本小节中，我们基于SCA技术提出一种交替迭代算法，用于交替求解这两个子问题。根据SCA技术的原理，在每次迭代中，每个子问题的当前最优解逐步逼近原始优化问题(7)的解。详细算法如算法1所示。由于每次迭代仅需求解两个具有多项式复杂度 $ O(N^{3.5}) $ 的凸优化问题，因此算法1在实际中可实现。此外，算法1能够保证收敛，因为问题(7)的目标值在每次迭代中是非递减的，且问题(7)的目标值是有界的[3]。

然而需要指出的是，交替迭代方法仅能保证凸优化问题的全局最优性，而由于一阶泰勒近似使得可行集更加严格，问题(15)和(18)的最优目标值分别作为问题(10)和(16)的下界。因此，算法1只能获得原始优化问题(7)的一个次优解。

算法1：求解问题(7)的交替迭代算法。

1: 初始化 ${Q^0, P^0, U_i^0, Z_i^0}$；令 $ r = 0 $。
2: 重复
3: 求解给定 ${Q^r, P^r, U_i^r, Z_i^r}$ 的问题(15)并获得最优解 ${Q^{r+1}, U_i^{r+1}, Z_i^{r+1}}$。
4: 令 ${U_i^r, Z_i^r} = {U_i^{r+1}, Z_i^{r+1}}$。
5: 求解给定 ${Q^{r+1}, U_i^r, Z_i^r}$ 的问题(18)，并获得最优解 ${P^{r+1}, U_i^{r+1}, Z_i^{r+1}}$。
6: 令 $ r = r + 1 $。
7: until 目标函数的分数增量低于一个阈值 $ \tau $。

IV. 数值结果

在本节中，我们给出数值结果以展示所提算法的性能。仿真参数设置如下： $ P_{\text{max}} = 20 \, \text{dBm} $， $ \bar{P} = \frac{1}{2} P_{\text{max}} $， $ H = 100 \, \text{m} $， $ \delta_t = 1 \, \text{s} $， $ V_{\text{max}} = 10 \, \text{m/s} $， $ L = 400 $， $ \xi_0 = 60 \, \text{dB} $， $ \varepsilon = 10^{-5} $， $ \varepsilon = 10^{-2} $， $ \tau = 10^{-6} $， $ w_b = [0, 0, 0]^T \, \text{m} $， $ w_e = [400, 0, 0]^T \, \text{m} $， $ q_I = [200, 100, H]^T \, \text{m} $ 和 $ q_F = [200, -100, H]^T \, \text{m} $。为便于表述，所提算法，即无人机轨迹与发射功率的联合优化，记为 JTPO-Fin方案。为了对比，我们考虑以下两种基准方案：
- FTP-Inf : 无限块长度情况下的固定轨迹和发射功率，其中轨迹和发射功率通过[6]中的方法获得。
- POFT-Fin : 固定轨迹下的发射功率优化，其中发射功率通过求解问题(18)得到，并采用[11]中的线段轨迹。

图2绘制了通过JTPO-Fin和两种基准方案获得的无人机轨迹随飞行周期不同取值的变化情况。从该图中，我们观察到JTPO-Fin方案获得的无人机轨迹与FTP-Inf方案获得的轨迹相似。具体而言，当 $ T = 60 \, \text{s} $ 时，无人机首先以最大速度飞向鲍勃附近的某个位置，然后尽可能长时间地在该处悬停，最后以最大速度飞向最终位置。这一现象由图3(b)中所示的无人机速度得到验证。我们还注意到，悬停位置正好位于鲍勃上方，而窃听者位于鲍勃正下方。因此，该悬停位置是通信性能与安全性能之间的一种权衡。与POFT-Fin方案获得的线段轨迹相比，JTPO-Fin和FTP-Inf方案获得的轨迹总是远离伊芙飞行，以恶化伊芙的窃听效果。当 $ T = 42 \, \text{s} $ 时，飞行周期 $ T $ 不足以使无人机到达鲍勃的位置。因此，正如图3(d)给出的无人机速度所证实的那样，无人机通过曲线路径从起始位置以最大速度飞向最终位置，期间不进行悬停，以尽可能接近鲍勃。

和(b)为 T= 60秒， (c)和(d)为 T= 42秒。)

图3(a)和图3(c)展示了不同飞行周期 $ T $ 值下无人机的发射功率。我们观察到图3(a)和图3(c)具有对称性。因此，我们仅分析前一半时隙的结果。首先可以观察到，尽管JTPO-Fin和FTP-Inf方案获得的无人机轨迹相似，但其发射功率却有很大差异。与FTP-Inf方案相比，JTPO-Fin和POFT-Fin方案较晚开始传输CI。这是由于与无限块长度相比，有限块长度下的可实现保密速率中的惩罚项（即最后两项）使得保证正的保密速率更加困难。此外，我们可以观察到，当无人机飞近鲍勃时，所有三种方案都会提高其发射功率；而当无人机远离鲍勃时，则会降低其发射功率。

在图4中，我们绘制了不同块长度 $ L $ 下平均有效保密速率（AESR）随飞行周期 $ T $ 变化的曲线。如预期所示，所提出的JTPO-Fin方案优于FTP-Inf方案，这表明在优化中考虑块长度是必要的。此外，由于轨迹优化，JTPO-Fin方案相比POFT-Fin方案实现了更优的性能。我们还可以观察到，随着 $ T $ 的增加，三种方案的AESR均有所提升，这是因为更大的 $ T $ 使得无人机能够在悬停位置停留更长时间。最后，随着 $ L $ 的增加，三种方案获得的AESR均上升，这与式(4)的结果一致。

五、结论

本文研究了基于有限码块长度的无人机支持的安全通信。我们的目标是通过联合设计无人机轨迹和发射功率，在满足无人机移动性约束和发射功率约束的前提下，最大化平均有效保密速率。然而，由此产生的优化问题是非凸的，难以直接求解。为此，我们首先将该优化问题分解为轨迹优化和发射功率优化两个子问题；然后基于一阶近似技术，将这两个子问题重新表述为凸优化问题；最后，基于SCA技术提出了一种交替迭代算法，用于迭代求解这两个子问题。数值结果表明，所提出的联合优化方案与两种基准方案相比，可以实现显著更好的安全性能。