大学物理华南农业大学专版（中）

电磁学

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1. 电流与磁场

电流强度：$I=\frac{dq}{dt}$
电流密度：$j=\frac{dI}{dScosa}$

因此有：$I={\int }_S\vec{j}d\vec{S}$

电动势：单位正电荷绕闭合回路运动一周，非静电力所做的功。

非静电电场强度$\overrightarrow{E_k}$：

$A={\oint }_{l}q(\overrightarrow{E_k}\vec{l})$

电动势：$\epsilon =\frac{A}{q}$

电流方向相同时它们相互吸引；电流方向相反时则相互排斥。

$F_{max}$是磁场力

磁感应强度：$B=\frac{F_{max}}{qv}$

运动电荷在磁场中受力：洛伦兹力

$\vec{F}=qvB$

磁通量：${\varphi }_m={\int }_{S}BdS$

静电场和磁场的高斯定理对比：

• ${\varphi }_m={\oint }_{S}BdS=0$
• ${\varphi }_e={\oint }_{S}EdS=\sum \frac{q}{\epsilon }$

磁场是无源场，穿过任意闭合曲面𝑆的总磁通必然为零，这就是磁场中的高斯定理

毕奥-萨伐尔定律：
常量：${\mu }_0=4\pi \ast 10^{-7}N\ast A^{-2}$ 真空磁导率

$$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idlsin\theta }{r^2}$$

解题步骤：

• 找到合适的电流元
• 选择合适的坐标系
• 写出电流元产生的磁感应强度
• 计算磁感应强度的分布

磁矩：$$\overrightarrow{P_m}=IS\overrightarrow{e_n}$$

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例题：长为𝐿的载流直导线，通有电流𝐼，确定与导线垂直距离为𝑎处的磁感强度。

解：P点产生的磁场大小：

$$B={\int }_{L}dB={\int }_L\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idlsin\theta }{r^2}$$
$$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2r^3}$$

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例题：圆形载流导线的磁场，即圆电流的磁场。求其轴线上一点𝑃的磁感强度的方向和大小

解：

$$B=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl}{r^2}cosa$$

$$cosa=\frac{R}{r}，r^2=R^2+x^2$$
$$B=\int \frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl}{r^2}cosa=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2r^3}$$

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例题：如图的载流导线，求𝑂点的B？

解：

以磁感线方向纸面朝外为正方向

这里有四段导线，都需要分别计算。

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4r_2}-\frac{{\mu }_{0}I}{4r_1}+\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r_2}-\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r_1}$$

上面分别是：内外环和两根直导线

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例题：如图所示为一个假象的球面，其中心有一个运动电荷，速度方向如图所示，则图中所标注的三个球面上的点，哪个点具有最大的磁场？

解：

$$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl}{r^2}$$

对于C：$r=rsin\theta$
对于A：$dA=0$
对于B：$r=r$

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例题：真空中有一根无限长的导线，载有电流𝐼，则距离导线轴为𝑅处的磁场强度为？

解：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}$$

例题：真空中半径为𝑅的载流圆线圈，通有电流𝐼，求其圆心处的磁场为？

解：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$$

例题：通有电流𝐼，半径为𝑅的半圆形载流导线在圆心处所 题 激发的磁场强度大小为？

解：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4R}$$

例题：一无限长载流𝐼的导线，中部弯成如图所示的四分之一圆周𝐴𝐵，圆心为𝑂，半径为𝑅，则在𝑂点处的磁感应强度的大小为？

解：$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}(1+\frac{\pi }{2})$$

例题：一长直载流𝐼的导线，中部折成图示一个半径为𝑅的圆，则圆心的磁感应强度大小为?

解：0

例题：如图所示，真空中载有电流为𝐼的导线(实线部分为导线，𝐴、𝐵两端延伸到无穷远处)，则在圆心𝑂处的磁感应强度为？

解：$$\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}+\frac{{\mu }_{0}I}{4R}$$

例题：：载流长直导线的电流强度为𝐼，求通过图示矩形面积𝑐𝑑𝑒𝑓的磁通量（𝑎、𝑏、𝑙均为已知）。

解：载流长直导线产生的$B=\frac{\mu I}{2\pi r}$

$${\varphi }_m={\int }_{S}BdS={\int }_a^b\frac{\mu I}{2\pi r}dr=\frac{\mu Il}{2\pi }ln\frac{b}{a}$$

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安培环路定理：$${\oint }_L\vec{B}d\vec{l}=\mu \sum I_{内}$$

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例题：一个半径为𝑟的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量为？

解：$$\varphi =\pi r^{2}Bcosa$$

例题：如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面𝑆，当曲面𝑆向长直导线靠近时，穿过曲面𝑆的磁通量𝜙和面上各点的磁感应强度𝐵将如何变化？

𝜙不变，𝐵增大

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2. 磁场对电流的作用

一根载流导线在磁场中所受的安培力： $\vec{F}={\int }_{L}IdlB$

例题：在均匀磁场中放置一半径为𝑅的半圆形导线，电流强度为𝐼，导线两端连线与磁感强度方向夹角α = 30°，求此段圆弧电流受的磁力。

解：

首先在电流上任取电流元 $Idl$

$$F={\int }_a^{b}IdlB=I\ast 2R\ast sina\ast B=IBR$$

例题：在均匀磁场𝐵中，通过一半径为𝑅的半圆导线中的电流为𝐼，求该导线所受的安培力？

解：$$F=IBR{\int }_0^{\pi }sin\theta d\theta =2IBR$$

合力F放行为y轴的正方向

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例题：载流𝐼1的长直导线一侧，有另一导线水平放置，长为𝐿，通有电流𝐼2，两者在同一平面。求水平导线所受磁力大小和方向？

解：

$$B=\frac{\mu I_1}{2\pi x}$$
$$F=\int dF=\int I_{2}Bdl={\int }_a^{a+L}\frac{\mu I_1{I}_2}{2\pi x}dx$$

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洛伦兹力：带电粒子在均匀磁场中运动所受的力

$$\vec{f}=q\vec{v}\vec{B}$$

回旋加速器：

$$q{v}_{0}B=m\frac{v_0^2}{R}$$

$$T=\frac{2\pi R}{v_0}$$

常识：

• 安培力和洛仑兹力本质上都是磁场对运动电荷的作用。
• 磁场对带电粒子的作用力不可以增大粒子的动能
• 洛伦兹力永不做功
• 质谱仪可用于鉴别同位素
• 可利用霍尔效应来测磁场

例题：两根长直导线𝑎、𝑏平行放置距离为𝑟，分别通有𝐼1、𝐼2的电流时，问导线上的安培力？

解：$$\frac{\mu I_1{I}_2}{2\pi r}$$

例题：一带电粒子，垂直射入均匀磁场，如果粒子质量增大到2倍，入射速度增大到2倍，磁场的磁感应强度增大到4倍，则通过粒子运动轨道包围范围内的磁通量增大到原来的倍？

解：$$Bqv=m\frac{v^2}{R}$$
$$\varphi ={\int }_{S}BdS$$

4倍

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例题：一带电粒子垂直射入磁场𝐵后，作周期为𝑇的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为𝑇/2，磁感应强度应变为？

解：2B

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3. 电磁感应与电磁场

（磁生电）

法拉第电磁感应定律：$$\epsilon =-k\frac{d{\varphi }_m}{dt}$$

负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化

用楞次定律判断感生电流的方向：

• 判断原磁通量${\varphi }_m$的变化，增加或者减少
• 确定感生电流的磁场B的方向
• 根据感生电流的方向

计算感生电动势的是很好，我们的k就不出现了。

和匝数有关：$$\epsilon =-N\frac{d\varphi }{dt}$$

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例题：如图是电子计算机内作为存储元件的环形磁芯，磁芯是用矩形磁滞回线的铁氧体材料制成的. 环形磁芯上绕有两个截面积均为𝑆 = 4.5 × 10−2𝑚𝑚−2的线圈𝑎1和𝑎2。当线圈𝑎1中有脉冲电流𝑖通过时，在Δ𝑡 = 0.45 × 10−6𝑠的时间内，磁芯内的磁感强度由+𝐵转为− 𝐵。设𝐵 = 0.17𝑇，线圈𝑎2的匝数𝑁 = 2。求磁芯内的磁感强度翻转过程中，线圈𝑎2中产生的感应电动势为多少？

已知： 𝑆 = 4.5 × 10−2𝑚𝑚−2，Δ𝑡 = 0.45 × 10−6𝑠，𝐵 = 0.17𝑇，𝑁 = 2

解：

$$\Delta \Phi =2NBS$$
$$\epsilon =\frac{2NBS}{\Delta t}=68mV$$

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动生电动势：
$$\epsilon =BlV$$

$$\epsilon ={\int }_a^b(VB)dl$$

两种计算动生电动势的办法：

• $\epsilon ={\int }_L(VB)dl$
• $\epsilon =-\frac{d{\varphi }_m}{dt}$

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例题：一长为𝐿的铜棒在磁感强度为𝐵的均匀磁场中，以角速度𝜔在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转动，求铜棒两端的感应电动势？

解：
$$\epsilon ={\int }_0^{L}wlBdl=\frac{1}{2}Bw{L}^2$$

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例题：一导线矩形框的平面与磁感强度为𝐵的均匀磁场相垂直。在此矩形框上，有一质量为𝑚长为𝑙的可移动的细导体棒𝑀𝑁；矩形框还接有一个电阻𝑅，其值较之导线的电阻值要大得很多。若开始时，细导体棒以速度𝑣0沿如图所示的矩形框运动，试求棒的速率随时间变化的函数关系

解：

$$\varphi =Blv$$

棒子所受的安培力：$F=IBl=\frac{B^2{l}^{2}v}{R}$

$$m\frac{dv}{dt}=-\frac{B^2{l}^{2}v}{R}$$

$${\int }_{v_0}^v\frac{dv}{v}=-{\int }_0^t\frac{B^2{l}^2}{mR}$$

$$v=v_0{e}^{-(B^2{l}^2/mR)t}$$

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热学

1. 气体分子运动理论

理想气体状态方程：$$PV=\frac{M}{M_m}RT$$

方均根速率：$$\sqrt{{\bar{v}}^2}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

分子无规律运动的激烈程度表示：
$$\overline{{\epsilon }_k}=\frac{3}{2}kT=\frac{1}{2}m\overline{v^2}$$

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例题：一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为𝑇，气体分子质量为𝑚。根据理想气体分子的分子模型和统计假设，分子速率在𝑥方向分量的平方的平均值为？

解：

$${\epsilon }_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{3}{2}kT$$

$${\overline{v_x}}^2=\frac{1}{3}{\bar{v}}^2$$

所以：$\overline{v_x^2}=kT/m$

例题：一瓶氦气𝐻𝑒和一瓶氮气𝑁2密度相同，分子平均平动动能相同，而且都处于平衡状态，则它们？

(A)温度相同、压强相同。
(B)温度、压强都不同。
©温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强。
(D)温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强

解：

$$\rho =m_{H_e}{n}_{H_e}=m_{N_2}{n}_{N_2}$$

例题：(1)在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃，体积减少一半，求气体压强变化多少？(2)这时气体分子的平均平动动能变化多少

解：

（1）$P_1=n_{1}k{T}_1$，$P_2=n_{2}k{T}_2$
$$V_1=2V_2\Rightarrow 2n_1=n_2$$
$T_1=273+27=300K$
$T_2=273+177=450K$

$$\frac{P_2}{P_1}=\frac{n_{2}k{T}_2}{n_{1}k{T}_1}=3$$

（2）
$${\epsilon }_k=\frac{3}{2}kT$$
$$\Delta {\epsilon }_k=\frac{3}{2}k(T_1-T_2)$$

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例题：若理想气体的体积为𝑉，压强为𝑃，温度为𝑇，一个分子的质量为𝑚，𝑘为玻耳兹曼常量，𝑅为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为？

解：

$$P=nkT$$
$$P=\frac{N}{V}kT$$
$$N=\frac{PV}{kT}$$

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