大学物理华南农业大学专版（上）

力学

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1. 矢量运动学基础

位置矢量：$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

某一点 P(x,y,z)，单位向量$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$

位置矢量的长度：$|r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

方向描述：$cos\alpha =\frac{x}{|r|}$，$cos\beta =\frac{y}{|r|}$，$cos\gamma =\frac{z}{|r|}$

运动方程：位置和时间的变化关系，$\vec{r}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$

轨迹方程：假如我们用时间的分量式去消掉t的话，只剩下$f(x,y,z)=0$，那么这个方程叫做轨迹方程，直线运动的话运动轨迹是直线，曲线运动的运动轨迹是曲线。

位移：$\Delta \vec{r}=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}+(z_B-z_A)\vec{k}$

$\Delta s$:运动轨迹标量，也是运动轨迹的实际长度
$\Delta r$：矢量长度的差 = $|\overrightarrow{r_B}|-|\overrightarrow{r_A}|$
$\Delta \vec{r}$：位移 = $\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}$

把这个图记住就可以了：

平均速度/速率：

• 平均速度 $\overline{\stackrel{⃗}{v}}=\frac{\Delta r}{\Delta t}$

• 平均速率 $\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

瞬时速度/速率：

• 瞬时速度 $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=li{m}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
• 瞬时速率 $v=|\vec{v}|=\frac{ds}{dt}=\sqrt{(\frac{dx}{dt}{)}^2+(\frac{dy}{dt}{)}^2+(\frac{dz}{dt}{)}^2}$

平均加速度/瞬时加速度：

• 速度矢量差 $\Delta \vec{v}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}$
• 平均加速度 $\overline{\stackrel{⃗}{a}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$
• 瞬时加速度 $\vec{a}=li{m}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}$
• 瞬时加速度大小 $|\vec{a}|=|\frac{d\vec{v}}{dt}|\ne \frac{d|\vec{v}|}{dt}$

常用运动公式（必背）：

• $v=v_0+at$
• $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
• $v^2-v_0^2=2a(x-x_0)$
• $a=\frac{dv}{dt}$
• $v=\frac{dx}{dt}$
• $v=v_0+{\int }_{t_0}^{t}adt\Leftarrow \Rightarrow {\int }_{v_0}^{v}dv={\int }_{t_0}^{t}adt$
• $x=x_0+{\int }_{t_0}^{t}vdt\Leftarrow \Rightarrow {\int }_{x_0}^{x}dx={\int }_{t_0}^{t}vdt$

例题1：飞机在起飞前以一定的加速度在跑道上做直线运动，已知其加速度𝑎=3𝑡^2+6𝑡+2；在𝑡=0的初始时刻，其位置在𝑥=0处，速度为零。试求起飞前任意时刻飞机运动的速度和位置。

解：已知$t=0,x_0=0,v_0=0$，

$v=v_0+{\int }_{t0}^{t}adt$

$v=t^3+3t^2+2t$

$x=x_0+{\int }_{t_0}^{t}vdt$

$x=\frac{1}{4}{t}^4+t^3+t$

2. 矢量运动学进阶（圆周）

切向/法向：切向沿着速度方向，垂直于速度方向为法轴

切向加速度/法向加速度：

• $\vec{a}=li{m}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

• $\vec{a}=\overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{a_i}$

• 法向加速度 $\overrightarrow{a_n}=li{m}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \overrightarrow{v_1}}{\Delta t}$

• 切向加速度 $\overrightarrow{a_i}=li{m}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \overrightarrow{v_2}}{\Delta t}$

圆周运动的法向加速度：$a_n=\frac{v^2}{R}$

实际上切向加速度和法向加速度可以定义一个运动的性质：

• $a_n=0，a_i=0$:匀速直线运动
• $a_n=0，a_i\ne 0$：变速直线运动
• $a_n\ne 0，a_i=0$：匀速曲线运动
• $a_n\ne 0，a_i\ne 0$：变速曲线运动

匀速圆周运动实际上是切向加速度变化的运动，因此是加速运动。

解决矢量运动学问题的关键：

$$\vec{r}(t)\leftarrow \to \vec{v}(t)\leftarrow \to \vec{a}(t)$$

之间通过求导和积分进行过渡。

例题1：设有一个质点作半径为𝑟的圆周运动。质点沿圆周运动所经历的路程与时间的关系为𝑠=𝑏𝑡^2/2，并设𝑏为一常量。

（1）此质点在某一时刻的速率；

（2）法向加速度和切向加速度的大小

（3）总加速度。

解：

（1）求瞬时速率：$v=\frac{ds}{dt}=bt$

（2）和（3）求加速度：$\vec{a}=\overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{a_i}$

$a_n=\frac{v^2}{R}=\frac{(bt{)}^2}{R}$

$a_i=\frac{dv}{dt}=b$

$|\vec{a}|=\sqrt{(a_i{)}^2+(a_n{)}^2}=b(\frac{b^2{t}^4}{r^2}+1)$

方向：$tan\alpha =\frac{a_n}{a_i}=\frac{b{t}^2}{r}$

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套路：先求出瞬时速度，再求出法向加速度（向心加速度）（圆周运动的切向加速度是定死的），然后用$\frac{dv}{dt}$求出法向加速度，求出加速度的方向和大小

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例题2：一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度的二次方成正比，即$a=-k{v}^2$，𝑘为常量。若发动机关闭瞬间汽艇的速度为$v_0$，试求该汽艇又行驶𝑥距离后的速度。

解：

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dvdx}{dtdx}=v\frac{dv}{dx}=-k{v}^2$

$vdv=-k{v}^{2}dx$

${\int }_{v_0}^v\frac{dv}{v}={\int }_{x_0}^x-kdx$

$v=v_0{e}^{-kx}$

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3. 牛顿运动定律

牛顿第一定律：惯性定律

牛顿第二定律：力是改变物体状态的原因（仅适用于质点的运动）

$\vec{F}=\frac{d\vec{P}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}=m\vec{a}$

牛顿第三定律：作用力和反作用力

动力学综合问题的解决：

$$\vec{r}(t)\leftarrow \to \vec{v}(t)\leftarrow \to \vec{a}(t)\leftarrow \to \vec{F}(t)$$

例题1：质量为𝑚的摩托车，在恒定的牵引力𝐹的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能达到的最大速率是$v_m$。试计算摩托车从静止加速到$v_m/2$所需的时间以及所走过的路程

解：
列出牛二：
$$F-kv=ma=m\frac{dv}{dt}$$

最重要的是我们需要知道的是当加速度a = 0的时候，速率最大。

因此有：
$$k=\frac{F}{v_m^2}$$

代入之后：

$$F(1-\frac{v^2}{v_m^2})=m\frac{dv}{dt}$$

$${\int }_0^{t}dt=\frac{m}{F}{\int }_0^{v_m/2}(1-\frac{v^2}{v_m^2})dv$$

因此可以求出：$$t=\frac{m{v}_m}{2F}ln3$$

如果求路程的话：
$${\int }_0^{x}dx=\frac{m}{F}{\int }_0^{v_m/2}v(1-\frac{v^2}{v_m^2}{)}^{-1}dv$$

$$x=\frac{m{v}_m^2}{2F}ln\frac{4}{3}$$

例题2：质量为𝑚的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。比例系数为𝑘。𝑘为正常数。该下落物体的收尾速度(即最后物体做匀速直线的速度)将是？

解：

最重要的是理解到：当a = 0的时候，速度$v_m$，之后就匀速了。

所以：收尾速度是 $$\sqrt{\frac{mg}{k}}$$

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4. 功和动能定理

元功：$dA=\vec{F}\ast d\vec{r}=Fcos\theta |d\vec{r}|$

变力功：

$$A={\int }_a^{b}Fcos\theta ds$$

瞬时功率：
$$P=\frac{dA}{dt}$$

功是过程量，能是状态量

动能定理：$$A=\frac{1}{2}(v_1^2-v_2^2)$$

保守力：做功只和始末位置有关。非保守力的就是做功和路径有关，最典型的是摩檫力。

弹性势能：$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$

动量：$\vec{P}=m\vec{v}$，

$\vec{F}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}$

冲量：$\vec{I}=\vec{F}\Delta t$（力在时间上的累积）

$$\vec{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)dt$$

冲量是过程量，动量是状态量

动量守恒定律：$${\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F_{外}}dt=\sum m_i\overrightarrow{v_i}-\sum m_i\overrightarrow{v_{i0}}$$

做功的话我们需要关注对象，也就是说我们需要一定的参考坐标系：

例题：一个物体放在水平传送带上，物体与传送带无相对滑动，当传送带作匀速运动时，静摩擦力对物体作功为无，当传送带作加速运动时，静摩擦力对物体作功为正，当传送带作减速运动时，静摩擦力对物体作功为负

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例题2：一质点在如图所示的坐标平面内作圆运动，有一力$$\vec{F}=F_0(x\vec{i}+y\vec{j})$$作用在质点上，求质点从原点运动到（0，2𝑅）位置过程中，力所作的功

解：$$A_x={\int }_0^0{F}_{x}dx=0$$
$$A_y={\int }_0^{2R}{F}_{0}ydy=2F_0{R}^2$$
$$A=A_x+A_y$$

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例题3：质量为2kg的物体由静止出发沿直线运动，作用在物体上的力为𝐹 = 6𝑡(𝑁)。试求在头2s内，此力对物体做的功。

解：
怎么想：先看过程量：t，也就是我们需要一个：$$A={\int }_0^2?dt$$的式子，？的地方只能是关于t的表达式。

$$F=6t=m\frac{dv}{dt}$$

一旦一个式子里面出现一个两个$d$的话，我们同时对这个式子两边一起积分的话，就能得到题目之间的关系。

$${\int }_0^{v}dv={\int }_0^{t}3tdt$$
$$v=1.5t^2$$
$$v=\frac{dx}{dt}$$
$$A=\int Fdx={\int }_0^{2}9t^{3}dt=36$$

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例题 质量𝑚 = 1𝑘𝑔的物体，在坐标原点处从静止出发，在水平面内沿𝑥轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为𝑓 = 3 + 2𝑥（国际单位制），计算（1）物体在开始运动的3𝑚内，合力所作功？（2）当𝑥 = 3𝑚时，物体的速率？

解：

$$A={\int }_0^{3}fdx={\int }_0^3(3+2x)dx=18$$
$$A=\frac{1}{2}m(v^2-0)$$

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例题：
对功的概念有以下几种说法:
(1)保守力作正功时，系统内相应的势能增加；
(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零；
(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反，两者所作功的代数和必为零。

解：
（1）保守力做正功。系统的势能会减少
（2）正确
（3）等于力和两者相对位移的乘积。

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功能分析例子
例题：有一轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环顶点𝑃，另一端系一质量为𝑚的小球，小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点𝐴，弹簧处于自然状态，其长度为圆环半径𝑅；当小球运动到圆环的底端点𝐵时，小球对圆环没有压力。求弹簧的劲度系数。

解：
机械能是动能和势能的总和，那么的话，我们的弹簧势能，重力势能，以及小球获得的动能，我们是可以看成是一个机械能守恒的系统的。

利用机械能守恒定理我们可以得到：$$\frac{1}{2}m{v}_B^2+\frac{1}{2}k{R}^2=mgR\frac{3}{2}$$

再根据向心力公式：$$kR-mg=m\frac{v_B^2}{R}$$

从上面式子能解：$k=\frac{2mg}{R}$

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动量冲量：
例题：一质量为0.05𝑘𝑔、速率为$10m{s}^{-1}$的刚球，以与钢板法线呈45°角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为0.05𝑠。求在此时间内钢板所受到的平均冲力$\vec{F}$

解：首先我们需要对这个系统进行参考系分解：

从x的角度出发：
$$\overrightarrow{F_x}\Delta t=m{v}_{2x}-m{v}_{1x}=mvcosa-(-mvcosa)=2mvcosa$$

从y的角度出发：
$$\overrightarrow{F_y}\Delta t=m{v}_{2y}-m{v}_{1y}=0$$

$$\bar{F}=\frac{2mvcosa}{\Delta t}=14.1N$$

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例题：一颗子弹在枪筒里面前进所受到的合力大小为：$F=400-\frac{4\ast 10^5}{3}t(SI)$，已知子弹的质量 $m=0.002kg$，求（1）子弹走完枪筒全场所需的时间（2）子弹在枪筒所受到的力的冲量（3）子弹从枪口射出的速率

解：

最重要的是我们需要知道在什么地方合力为0，也就是我们常说的a=0的地方，我们推测就是离开枪筒的瞬间，我们的a = 0。

所以：$t=0.003s$

冲量：$I={\int }_0^{0.03}Fdt=400t-\frac{2}{3}\ast 10^5{t}^2=0.6N\ast s$

速率：$mv=I$

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例题：动量守恒，机械能不一定守恒。对于一个系统而言，若果外力做功为0，而内力是保守力，那么其机械能守恒。

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例题：如图所示，质量为𝑚、速度为𝑣的钢球，射向质量为𝑚′的靶，靶中心有一个小孔，内有劲度系数为𝑘的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动。求钢球射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：
假设弹簧的最大压缩量是$x_0$，当小球最后和靶子共同运动的速度是$v_1$，整体动量守恒

$$mv=(m+m^{\prime })v_1$$

又因为机械能守恒：

$$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}(m+m^{\prime })v_1^2+\frac{1}{2}k{x}_0^2$$

所以：$x_0=v\sqrt{\frac{(m{m}^{\prime })}{k(m+m^{\prime })}}$

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5. 刚体转动的运动学

刚体是质点模型的一个实际化的研究，分为平动和转动，转动也分为定州转动和非定轴的转动。

我们需要研究的物理量：

瞬间角速度：$w=\frac{d\theta }{dt}$

瞬间角加速度：$\beta =\frac{dw}{dt}=\frac{d^2\theta }{dt}$

满足运动公式：$$\theta =\frac{w^2-w_0^2}{2\beta }$$

切向角速度，法向加速度（这个就是向心加速度），角加速度。

$角加速度\ast R=切向加速度$

$角速{度}^2\ast R=法向加速度$

$线速度=角速度\ast R$

转动惯量：$I=\frac{1}{2}m{R}^2$

$dI=r^{2}dm$

取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置

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例题：一质点从静止出发沿半径𝑅 = 1𝑚的圆周运动，其角加速度随时间𝑡的变化规律是𝛽 = 12𝑡^2 − 6𝑡（𝑆𝐼）。则质点的角速度𝜔 =？，切向加速度𝑎𝜏 =？。

解：

$$\beta =\frac{dw}{dt}=12t^2-6t$$
$${\int }_0^{w}dw={\int }_0^t(12t^2-6t)dt$$

$$w=4t^3-3t^2(rad/s)$$
$$a=R\beta$$

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例题：一质点沿半径为𝑅 = 0.1𝑚的圆周运动，其角位置𝜃随时间𝑡的变化规律是𝜃 = 2 + 4𝑡^2(𝑆𝐼)。在𝑡 = 2𝑠时，求它的法向加速度和切向加速度

解：

法向加速度就是向心加速度：$a_n=\frac{v^2}{R}=R{w}^2$

$$w=\frac{d\theta }{dt}=8t$$
$$\beta =\frac{dw}{dt}=8$$

切向加速度：$a_i=R\beta$

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例题：一飞轮半径为0.2𝑚、转速为150𝑟 ∙ 𝑚𝑖𝑛−1， 因受制动而均匀减速，经30𝑠停止转动。试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后𝑡 = 6𝑠时飞轮的角速度；（3）𝑡 = 6𝑠时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度

解：

这里好就好在是匀减速运动。

$$w_0=5\pi rad\ast s^{-1}$$

$$t=30s，w=0$$

$$\beta =\frac{w-w_0}{t}=-\frac{\pi }{6}rad\ast s^{-1}$$

$$\theta =\frac{w^2-w_0^2}{2\beta }$$

线速度：$v=rw$
法向加速度：$a_n=r{w}^2$
切向加速度：$a_i=r\beta$

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转动惯量例题：
例题：求质量为𝑚、半径为𝑅、厚为𝑙的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。

解：

密度为：$\rho =\frac{m}{\pi R^{2}l}$

$$dm=\rho 2\pi rdrl$$
$$dI=r^{2}dm=\rho 2\pi r^{3}drl$$
$$I={\int }_0^R\rho 2\pi r^{3}drl$$

$$I=\frac{1}{2}m{R}^2$$

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例题：求长为𝑙、质量为𝑚的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。$dm=\lambda dx$

解：

$$I_A={\int }_0^l{x}^2\lambda dx=\frac{1}{3}m{l}^2$$

$$I_C={\int }_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}{x}^2\lambda dx=\frac{1}{12}m{l}^2$$

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6. 刚体转动的力学

力矩反映力的作用点的位置对物体运动的影响。我们在研究转动问题的时候，需要到转动力矩，利用右手螺旋法则可以解决力矩的方向问题。

$$\vec{M}=\vec{r}\vec{F}$$

刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

转动定律：$$M=I\beta =I\frac{dw}{dt}$$

解决刚体的转动问题的步骤：找转轴，分析手里，求合力矩，利用转动定律求角加速度，然后确定刚体的转动状态。

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例题：如图，有一半径为𝑅质量为𝑚′的匀质圆盘，可绕通过盘心𝑂垂直盘面的水平轴转动。转轴与圆盘之间的摩擦略去不计。圆盘上绕有轻而细的绳索，绳的一端固定在圆盘上，另一端系质量为𝑚的物体。试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度

解：

列方程;

牛二：$mg-T=m{a}_y$
转动定律：$TR=I\beta$
角速度运动学：$a_i=R\beta$
转动惯量：$I=\frac{1}{2}{m}^{\prime }{R}^2$

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例题：一不能伸缩的轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳两端分别悬有质量为𝑚1和𝑚2的物体，𝑚1 < 𝑚2。滑轮质量为𝑚，半径为𝑟，可视为圆盘。绳与轮之间无相对滑动，试求物体的加速度和绳的张力。

解：

同理：

• 【1】牛二：
  $m_{2}g-T_2=m_{2}a$
  $T_1-m_{1}g=m_{1}a$

• 【2】转动定律：
  $(T_2-T_1)R=I\beta$

• 【3】角速度运动学：
  $a_i=R\beta$

• 【4】转动惯量：
  $I=\frac{1}{2}{m}^{\prime }{R}^2$

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例题：某飞轮的直径𝑑 = 0.5𝑚，转动惯量𝐼 = $2.4kg\ast m^2$，转速𝑛 =1000𝑟 ∙ 𝑚𝑖𝑛−1。若制动时闸瓦对轮的正压力为490𝑁，闸瓦与轮间的滑动摩擦因数𝜇 = 0.4，问：制动后飞轮转过多少圈停止

解：

摩檫力：$f=\mu N=196N$
摩擦力转动定律：$fR=I\beta$

因为转动惯量知道，因此，我们可以求出$\beta =-20.4(rad\ast s^{-2})$

制动之后的飞轮做匀减速转动，因为最后的时候的$w=0$

因此可以求出在制动过程所走过的路程（角度）：

$$\theta =\frac{w^2-w_0^2}{2\beta }$$

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例题：如图，一通风机的转动部分以初角速度$w_0$绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数𝐶为一常量。转动部分对其轴的转动惯量为𝐼，问：（1）经过多长时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？

解：

（1）
转动定律：$-Cw=I\beta$

所以：$\beta =-\frac{Cw}{I}=\frac{dw}{dt}$

$${\int }_{w_0}^w\frac{dw}{dt}={\int }_0^t-\frac{C}{I}dt$$

得到：$w=w_0{e}^{-\frac{C}{I}t}$

当 $w=\frac{w_0}{2}$，那么 $t=\frac{I}{C}ln2$

（2）

$$w=\frac{d\theta }{dt}$$
$${\int }_0^{\theta }d\theta ={\int }_0^t{w}_0{e}^{-\frac{C}{I}t}dt$$

$$\theta =\frac{I{w}_0}{2C}$$

转过的圈数：$\frac{\theta }{2\pi }$

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7. 刚体转动的功能定理

力矩的功：$dA=Md\theta$

根据定轴的转动定律：$$M=I\beta =I\frac{dw}{dt}$$

角动量守恒定理：$$\int Mdt=I\vec{w}-I_0\overrightarrow{w_0}$$

内力矩不改变系统的角动量。

定轴运动和直线运动的对比：

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例题：一半径为𝑅的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为𝑚的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点𝐴（该点在通过环心𝑂的水平面上），然后从𝐴点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计。求小球滑到点𝐵时对环心𝑂的角动量和角速度。

解：

重力矩：$M=mgRcos\theta$
质点的角动量定理：$mgRcos\theta =\frac{dL}{dt}$

所以：$dL=mgRcos\theta dt$

已知：$w=\frac{d\theta }{dt}$

$L=Rmv=m{R}^{2}w$

得到：$$LdL=m^{2}g{R}^{3}cos\theta d\theta$$

积分上式中：
$${\int }_0^{L}LdL=m^{2}g{R}^3{\int }_0^{\theta }cos\theta d\theta$$

得到：$L=m{R}^{\frac{2}{3}}(2gsin\theta {)}^{\frac{1}{2}}$

得到：$w=\frac{L}{m{R}^2}=(\frac{2g}{R}sin\theta {)}^{\frac{1}{2}}$

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电学

1. 静电场

电荷守恒定律：在一个没有外界电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在屋里过程中保持不变

库伦定律：$$f=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$

电场强度：电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}$$

综合上式子，我们可以知道：$\vec{E}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

需要注意的是，当 $r\to 0$的时候，点电荷的场强公式将会不成立。

场强叠加原理：$$\vec{E}=\int d\vec{E}={\int }_Q\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r}$$

电通量：通过任意面元的电场线的数量 通过这个面元的电通量。

$${\varphi }_e={\int }_{s}d{\varphi }_e={\int }_s\vec{E}d\vec{S}$$

高斯定理：真空中的静电场中，穿过任何一闭合曲面𝑆的电通量𝜙𝑒，等于该曲面所包围的电荷的代数和的𝜀0分之一倍。

$${\varphi }_e={\oint }_s\vec{E}d\vec{s}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_i$$

这个闭合的曲面我们叫做高斯面

高斯定理的相关：
【1】高斯定理中的场强全部是由全部电荷产生的
【2】电通量只决定他所包含的电荷，对于闭合曲面外的电荷对电通量没有贡献
【3】高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为零，同时电荷的代数和为0，但不代表没有电荷
【4】场强是高斯面内外电荷产生的合场强

高斯定理使用于电荷分布具有空间对称性的情况：

【1】均匀无限长带电圆柱面的电场
【2】均匀带电球面的电场
【3】均匀带电球体的电场
【4】均匀带电无限大平面的电场
【5】均匀带电球体空腔部分的电场

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例题：有一边长为𝑎的正方形平面，其中垂线上距正方形中心𝑂点为𝑎/2处有一电量为𝑞的正点电荷,则通过该正方形平面的电通量为？

解：

$${\oint }_s\vec{E}d\vec{S}=\frac{q}{{\epsilon }_0}$$

6个面，所以最后的电通量是$\frac{q}{6{\epsilon }_0}$

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例题：在真空中，𝐴 、𝐵两板相距𝑑，面积都为𝑆（平板的尺寸远大于两板间距），𝐴 、𝐵两板各带+𝑞 、−𝑞。则两板间的相互作用力为？

解：

$$E=\frac{q}{2{\epsilon }_{0}S}$$

$$F=Eq$$

$$F=\frac{q^2}{2{\epsilon }_{0}S}$$

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我们需要区分是（板间）还是（板上）

例题：求两个平行无限大均匀带电平面的（间）场强分布。设面电荷密度分别为${\sigma }_1=+\sigma$和${\sigma }_2=-\sigma$

解：

$$E_c=E_{+}+E_{-}=2\ast \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$$

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例题：一半径为𝑅的带电球体，其体电荷密度$\rho =K{r}^2$，𝐾为正常量，𝑟为球心到球内一点的距离，求此带电球体所产生的场强分布

解：取球面作为高斯面：
$${\varphi }_e={\oint }_s\vec{E}d\vec{S}=\frac{q}{{\epsilon }_0}$$

讨论：

【1】当 $r>=R$：

$$q={\int }_V\rho dV={\int }_0^{R}k{r}^{2}4\pi r^{2}dr=\frac{4}{5}k\pi R^5$$

$$E=\frac{{\varphi }_e}{4}=\frac{K{R}^5}{5{\epsilon }_0{r}^2}$$

【2】当$r<R$：

$$q={\int }_V\rho dV={\int }_0^{r}k{r}^{2}4\pi r^{2}dr=\frac{4}{5}k\pi r^5$$

$$E=\frac{{\varphi }_e}{4}=\frac{K{r}^3}{5{\epsilon }_0}$$

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半径为𝑅的均匀带电球面(电荷面密度𝜎)外的电场：

解：$$\vec{E}=\frac{\sigma R^2}{{\epsilon }_0{r}^3}\bar{r}$$

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静电场力是保守力：静电场力所做的功和路径无关

静电场环路定理：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零

运动电荷不是保守场，而是非保守场

电势能和电场力做功：

$$A_{ab}={\int }_{ab}{q}_0\vec{E}d\vec{l}=E_{pa}-E_{pb}$$

电势差：$$U_{ab}=\frac{A_{ab}}{q_0}=\frac{E_{pa}}{q_0}-\frac{E_{pb}}{q_0}=U_a-U_b={\int }_a^b\vec{E}d\vec{l}$$

$$A_{ab}=q_0{\int }_a^{b}Edl=q_0(U_a-U_b)$$

点电荷的电势：$U_p=\frac{q}{4\pi \epsilon r}$

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例题：一带电量为𝑄、半径为𝑅的均匀带电球体，求电势分布。

解：

我们先求场强分布：（根据高斯定理，然后分类讨论）

【1】r<R：$$E_{内}=\frac{Qr}{4\pi \epsilon R^3}\hat{r}$$

【2】r>=R：$$E_{外}=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}\hat{r}$$

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（无限远作为零势能点）计算电势：

$$U={\int }_P^{\infty }Edl$$

【1】球内电势：$$U_p={\int }_r^R{E}_{内}dl+{\int }_R^{\infty }{E}_{外}dl=\frac{Q}{8\pi \epsilon R^3}(3R^2-r^2)$$

【2】球外电势：$$U_p={\int }_r^{\infty }\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}dr=\frac{Q}{4\pi \epsilon r}$$

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（取球心作为零势能参考点）计算电势：
$$U={\int }_P^{0}Edl$$

【1】球内电势：$$U_p={\int }_p^{0}Edl={\int }_r^0{E}_{内}dl={\int }_r^0\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}dr=-\frac{Q{r}^2}{8\pi \epsilon R^3}$$

【2】球外电势：$$U_p={\int }_r^R{E}_{外}dl+{\int }_R^0{E}_{内}dl=-\frac{Q(3r-2R)}{8\pi \epsilon Rr}$$

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例题：计算均匀带电球面的电势

先求场强：
【1】球内：E=0
【2】球外：$E=\frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\hat{r}$

默认零势能点在无限远的地方：

场点在球面内：$$U_p={\int }_p^{\infty }Edl={\int }_r^{R}0dl+{\int }_R^{\infty }\frac{q}{4\pi \epsilon r^2}=\frac{q}{4\pi \epsilon R}$$

场点在球面外：
$$U_p={\int }_p^{\infty }Edl={\int }_r^{\infty }\frac{q}{4\pi \epsilon r^2}dr=\frac{q}{4\pi \epsilon r}$$

平行板的电势差：$\Delta U=Ed$

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例题：求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度

解：
$$U=\frac{q}{4\pi \epsilon \sqrt{x^2+R^2}}$$

$$E=-\frac{\partial U}{\partial x}$$

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例题：一球壳半径为𝑅，带电量𝑞，在离球心𝑂为𝑟（𝑟 < 𝑅） 处一点的电势为（设“无限远”处为电势零点）

解：这是球面问题：$$\frac{q}{4\pi \epsilon R}$$

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例题：在点电荷+2𝑞的电场中，如果取图中𝑃点处为电势零点，则𝑀点的电势为？

解：
$$U={\int }_{-a}^{+a}Edl$$
$$E=\frac{2q}{4\pi \epsilon (2a{)}^2}$$
所以：$-\frac{q}{4\pi \epsilon a}$

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例题：两个均匀带电同心球面，半径分别为𝑅1和𝑅2，所带电量分别为𝑄1和𝑄2，设无穷远处为电势零点，则距球心𝑟的𝑃点（𝑅1 < 𝑟 < 𝑅2）电势为？

解：

这是个球面问题，因此，对于Q1而言，r在球面外，因由有$\frac{Q1}{4\pi \epsilon r}$，对于Q2而言是在球面内，因此有：$\frac{Q_2}{4\pi \epsilon R_2}$

$$\frac{Q_1}{4\pi \epsilon r}+\frac{Q_2}{4\pi \epsilon R_2}$$

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以下都正确：

• 电势处处相等的区域，场强一定为零
• 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域必定为零
• 场强的方向总是从高电势指向低电势
• 场强不变的空间，电势不一定处处为零

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