大学物理华南农业大学专版（上）

最新推荐文章于 2024-02-23 09:48:20 发布

原创

最新推荐文章于 2024-02-23 09:48:20 发布 · 1.6k 阅读

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本文深入讲解矢量运动学基础及进阶概念，包括位置矢量、运动方程、轨迹方程、位移、速度与加速度等内容。进一步探讨了牛顿运动定律的应用，以及功、动能、动量守恒等原理。同时介绍了刚体转动的运动学和力学特性，电学部分则涵盖了静电场的基本定律和计算方法。

力学

位置矢量： $r⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

某一点 P(x,y,z)，单位向量 $i⃗,j⃗,k⃗\vec{i},\vec{j},\vec{k}$

位置矢量的长度： $∣r∣=x2+y2+z2|r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

方向描述： $cosα=x∣r∣cos\alpha = \frac{x}{|r|}$ ， $cosβ=y∣r∣cos\beta=\frac{y}{|r|}$ ， $cosγ=z∣r∣cos\gamma=\frac{z}{|r|}$

运动方程：位置和时间的变化关系， $r⃗=x(t)i⃗+y(t)j⃗+z(t)k⃗\vec{r}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$

轨迹方程：假如我们用时间的分量式去消掉t的话，只剩下 $f (x, y, z) = 0$ ，那么这个方程叫做轨迹方程，直线运动的话运动轨迹是直线，曲线运动的运动轨迹是曲线。

位移： $Δr⃗=rB⃗−rA⃗=(xB−xA)i⃗+(yB−yA)j⃗+(zB−zA)k⃗\Delta \vec{r}=\vec{r_B}-\vec{r_A} = (x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}+(z_B-z_A)\vec{k}$

$Δs\Delta s$ :运动轨迹标量，也是运动轨迹的实际长度
$Δr\Delta r$ ：矢量长度的差 = $∣rB⃗∣−∣rA⃗∣|\vec{r_B}|-|\vec{r_A}|$
$Δr⃗\Delta \vec{r}$ ：位移 = $rB⃗−rA⃗\vec{r_B}-\vec{r_A}$

把这个图记住就可以了：
位移，位置矢量差，轨迹变化长度的区别

平均速度/速率：

瞬时速度/速率：

瞬时速度 $v⃗=dr⃗dt=limΔt→0Δr⃗Δt\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
瞬时速率 $|\vec{v}| = \frac{ds}{dt} = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2}$

平均加速度/瞬时加速度：

速度矢量差 $Δv⃗=v2⃗−v1⃗\Delta \vec{v} = \vec{v_2} - \vec{v_1}$
平均加速度 $a⃗ˉ=Δv⃗Δt\bar{\vec{a}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$
瞬时加速度 $a⃗=limΔt→0Δv⃗Δt=dv⃗dt=d2r⃗dt2\vec{a} = lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$
瞬时加速度大小 $∣a⃗∣=∣dv⃗dt∣≠d∣v⃗∣dt|\vec{a}|=|\frac{d\vec{v}}{dt}| \neq \frac{d|\vec{v}|}{dt}$

常用运动公式（必背）：

$v = v_0+at$
$x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$
$v^2-v_0^2 = 2a(x-x_0)$
$\frac{dv}{dt}$
$\frac{dx}{dt}$
$v_0+\int_{t_0}^tadt \Leftarrow\Rightarrow \int_{v_0}^vdv = \int_{t_0}^tadt$
$x_0+\int_{t_0}^tvdt \Leftarrow\Rightarrow \int_{x_0}^{x}dx = \int_{t_0}^{t}vdt$