概率论与数理统计(三)

离散型随机变量及其概率分布

概率函数(分布)：P{x=xk}=pkP\{x = x_k\} = p_kP{x=xk​}=pk​

离散型随机变量的概率函数有如下性质：

1、$p_k⩾0$

2、$\sum p_k=1$

连续型随机变量及其概率密度函数

定义：若存在非负可积函数 $f(x)$，使得对任意 $a⩽b$，都有：

P{a<X⩽b}=∫abf(x)dx P\{ a < X \leqslant b \} = \int_a^b f(x)dx P{a<X⩽b}=∫ab​f(x)dx

则称 $f(x)$ 为连续随机变量 $X$ 的概率密度函数

分布函数的定义

分布函数：$F(x)=P(X⩽x)$，即 $X$ 取值不超过 $x$ 的概率

若 $X$ 是离散型，$F(x)$ 右连续；若 $X$ 是连续型，$F(x)$ 连续

相关公式：
P{a<X⩽b}=F(b)−F(a)P{X=a}=F(a)−F(a−0+)P{a⩽X⩽b}=F(b)−F(a−0+)P{X<a}=F(a−0+)P{X⩾a}=1−F(a−0+) \begin{align} & P\{a < X \leqslant b\} = F(b) - F(a) \\ & P\{X = a\} = F(a) - F(a - 0^+) \\ & P\{a \leqslant X \leqslant b\} = F(b) - F(a - 0^+) \\ & P\{ X < a \} = F(a - 0^+) \\ & P\{ X \geqslant a \} = 1 - F(a - 0^+) \end{align} ​P{a<X⩽b}=F(b)−F(a)P{X=a}=F(a)−F(a−0+)P{a⩽X⩽b}=F(b)−F(a−0+)P{X<a}=F(a−0+)P{X⩾a}=1−F(a−0+)​​

常见离散型分布

1、0-1 分布：

P{X=k}=pk(1−p)1−k,  k=0,1 P\{X=k\} = p^k(1-p)^{1-k}, \ \ k = 0,1 P{X=k}=pk(1−p)1−k,  k=0,1

2、几何分布：

若 $P(A)=p$，事件 $A$ 第 $k$ 次首次发生，前 $k-1$ 次未发生：
P{X=k}=(1−p)k−1p P\{ X=k \}=(1-p)^{k-1}p P{X=k}=(1−p)k−1p

称 $X$ 服从几何分布，记作 $X\sim G(p)$

3、二项分布：

若 $P(A)=p$，做了 $n$ 次实验，事件 $A$ 发生 $k$ 次，那么有：

P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,  k=0,1,2,⋯ ,n P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, \ \ k=0,1,2,\cdots,n P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k,  k=0,1,2,⋯,n

记作 $X\sim B(n,p)$

若 $(n+1)p$ 不为整数，那么 $\lfloor (n+1)p\rfloor$ 取最大值；反之若 $(n+1)p$ 为整数，那么 $(n+1)p$ 与 $(n+1)p-1$ 均为最大值

4、泊松分布：

P{X=k}=λkk!e−λ;  k=0,1,2,⋯ , λ>0 P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}; \ \ k=0,1,2,\cdots, \ \lambda > 0 P{X=k}=k!λk​e−λ;  k=0,1,2,⋯, λ>0

5、超几何分布：

设 $N$ 个元素，其中 $N_1$ 个属于第一类，$N_2$ 个属于第二类，共取 $n$ 个元素，设 $X$: $n$ 个元素中属于第一类元素的个数，则：

P{X=k}=CN1kCN2n−kCNn P\{ X=k \} = \frac{C_{N_1}^kC_{N_2}^{n-k}}{C_N^n} P{X=k}=CNn​CN1​k​CN2​n−k​​

其中 k=0,1,2,⋯ ,min⁡{n,N1}k = 0,1,2,\cdots, \min\{n,N_1\}k=0,1,2,⋯,min{n,N1​}

超几何分布可以用来描述不放回抽样的实验，当实验基数 $N$ 相对于取出来的 $n$ 来说很大时，有如下近似：

P{X=k}=CMkCn−Mn−kCNn≈Cnkpk(1−p)n−k P\{X=k\}= \frac{C_{M}^kC_{n-M}^{n-k}}{C_N^n}\approx C_n^kp^k(1-p)^{n-k} P{X=k}=CNn​CMk​Cn−Mn−k​​≈Cnk​pk(1−p)n−k

其中 $p$ 表示目标类别占总体的比例，即 $p=\frac{M}{N}$

常见连续型分布

1、均匀分布：

$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a}a⩽x⩽b\\ 0\text{else}\end{array}$$

2、指数分布：

$$f(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x}x>0\\ 0x⩽0\end{array}$$

其中 $\lambda >0$，记作 $X\sim Exp(\lambda )$

积分后获得其分布函数：

$$F(x)=\{\begin{array}{l}1-e^{-\lambda x}x>0\\ 0x⩽0\end{array}$$

3、正态分布：

$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}-\infty <x<+\infty$$

我们记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

对于标准正态分布有：$\mu =0，\sigma =1$

连续型随机变量函数的分布

设 $X$ 的密度函数为 $f_X(x)$，设 $y=g(x)$，$Y=g(X)$

求解思路，先做变换 $F_Y(x)\to F_X(x)$，然后对两边求导，即有 $f_Y(x)\leftarrow f_X(x)$