LeetCode hot 100—最大子数组和

题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组是数组中的一个连续部分。

示例

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

分析

前缀和法

记录一个最小前缀和和最大子数组和，每次都用当前前缀和减去最小前缀和可以得到从最小前缀和到当前位置的子数组和，再和最大子数组和进行比较更新。

时间复杂度：O()

空间复杂度：O(1)

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int minPrefixSum = 0; // 最小前缀和
        int currentPrefixSum = 0; // 当前前缀和
        int result = nums[0]; // 初始化结果为数组的第一个元素
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            currentPrefixSum += nums[i]; // 更新当前前缀和
            result = max(result, currentPrefixSum - minPrefixSum); // 更新最大子数组和
            minPrefixSum = min(minPrefixSum, currentPrefixSum); // 更新最小前缀和
        }
        return result; // 返回最终结果
    }
};

动态规划法

动态规划法（Dynamic Programming, DP）的思路是将问题分解成子问题，并利用子问题的解来构建整个问题的解。在解决 最大子数组和 问题时，我们的目标是找到一个连续子数组，其元素和最大。对于数组中的每一个元素 nums[i]，我们需要知道以 nums[i] 结尾的子数组的最大和。这个子数组和可以由以下两种情况之一产生：

• 只有 nums[i] 这一元素的子数组。
• 前面最大子数组的和加上 nums[i]。

每个子问题 currentSum[i] 只依赖于前一个子问题 currentSum[i-1]，这意味着可以通过逐步累积的方式解决问题。通过动态规划，我们可以将问题从求解整个数组的最大和，转化为求解每个以 nums[i] 结尾的子数组的最大和，然后逐步扩展，最终得到整个数组的最大子数组和。

时间复杂度：O()

空间复杂度：O(1)

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int maxSum = nums[0];  // 初始化最大和为数组第一个元素
        int currentSum = nums[0];  // 当前子数组和
        // 从第二个元素开始遍历数组
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            // 选择是否加入当前元素
            currentSum = max(nums[i], currentSum + nums[i]);
            // 更新最大和
            maxSum = max(maxSum, currentSum);
        }
        return maxSum;
    }
};