26、高效大状态卡尔曼滤波器与多尺度估计方法解析

高效大状态卡尔曼滤波器与多尺度估计方法解析

1. 引言

在处理大规模动态估计问题时，传统的卡尔曼滤波器面临着计算复杂度和存储复杂度高的挑战。为了克服这些问题，人们开发了多种高效的方法。本文将详细介绍这些方法，包括大状态卡尔曼平滑器、稳态卡尔曼滤波器、条带卡尔曼滤波器、减少更新卡尔曼滤波器、稀疏卡尔曼滤波器、降阶卡尔曼滤波器以及多尺度估计方法。

2. 大状态卡尔曼滤波器面临的挑战

当状态向量 $z$ 中的元素数量适中时，可以直接实现卡尔曼滤波器（KF），将所有系统矩阵 $A$、$B$ 以及估计误差协方差 $P(t|t - 1)$、$P(t|t)$ 视为稠密矩阵。然而，将稠密卡尔曼滤波器直接应用于大规模问题存在两个局限性：
- 计算复杂度 ：主要源于矩阵 - 矩阵乘法和矩阵求逆。
- 存储复杂度 ：由于需要存储稠密协方差矩阵。

3. 大状态卡尔曼平滑器

在许多情况下，$z(t)$ 不是因果过程，特别是在解决多维静态问题时。此时，我们可能希望非因果地计算估计值 $\hat{z}(t)$。原则上，我们可以使用 RTS 平滑器进行非因果滤波，但对于大规模问题，RTS 平滑器需要存储每个时间步的 $P(t|t)$，这在存储上是不可行的。因此，我们有以下三种选择：
1. 不进行平滑处理 ：仅因果地求解估计值。对于许多真实的时间估计问题，这可能是合适的，但对于空间推进问题则不太适用。
2. 进行次优平滑处理 ：将协方差 $P(t|t)$ 以带状、核状、稀疏逆或