2、逆问题与估计：从基础到应用

逆问题与估计：从基础到应用

在许多科学和工程领域中，我们常常会遇到正向问题和逆问题。理解这两类问题对于解决大型估计问题至关重要。

正向问题与逆问题的基本概念

• 正向问题 ：大多数物理系统可以用一组属性或未知量来定义或参数化，通过这些可以推断出其他属性或测量值。抽象地说，我们测量的量 $m$ 是其他更基本的底层量 $z$ 的某个数学函数，即 $m = f(z)$。当 $f$ 为线性时，可表示为 $m = Cz$（确定性情况）或 $m = Cz + v$（随机情况）。通常，$z$ 是系统的理想、完整表示，而测量值 $m$ 是不完整和近似的。从详细的基本量 $z$ 推断或计算测量值 $m$ 的任务就是正向问题，这通常是一个相对容易的问题，因为基本量和测量值之间的关系由模型 $f()$ 给出。例如，知道人体所有血管、器官、骨骼等的精确形状、大小和排列，就可以相对容易地预测测量的 X 射线图像的外观。以下是一些正向问题的示例：
  | 已知信息 | 可确定的信息 |
  | — | — |
  | 所有器官、骨骼、血管等的排列和大小 | 测量的 X 射线、MRI、CAT 扫描等的外观 |
  | 星团中恒星的已知质量和位置 | 星团引力场的形状 |
  | 海底岩石、岩浆和矿物质的 3D 密度 | 海洋表面由引力引起的形状 |
  | 地下岩石、粘土、沙子的分布和分层 | 地下水和其他污染物的流动 |
  | 聚焦清晰的图像 | 失焦模糊的图像 |

正向问题对于确定性系统的算法任务称为“模拟”，对于随机系统则称为“样本路径生成”或“采样”。