30、数学工具：级数展开与微积分进阶

数学工具：级数展开与微积分进阶

1. 函数展开

在数学分析中，函数的级数展开是一个重要的研究方向。一个关键问题是：每个函数是否都有唯一的级数表示？一般来说，答案是否定的，指数函数（以及双曲函数）是罕见的例外。

函数不仅可以围绕不同的 $b$ 值展开为不同的幂级数 $f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} a_j(x - b)^j$（后面会介绍泰勒级数），还存在渐近展开，例如当实数 $x \to \infty$ 时（通常 $x \to -\infty$ 有不同的展开，若允许 $x$ 为复数则更多）。渐近展开形式为 $f(x) = \sum_{j=0}^{\infty} g_j(x)$，其中对于 $k \in N$，当 $x \to \infty$ 时，比值 $g_{j + k}(x)/g_j(x)$ 随 $x$ 减小。例如，$(1 + x)^{\nu} = x^{\nu} \sum_{j=0}^{\infty} \binom{\nu}{j} \frac{1}{x^j}$ 就是左边函数的渐近展开。

为了研究函数的不同展开，需要引入一些工具。定义如下：
- 若 $\lim_{x \to \infty} f(x)/x^{\alpha} = 0$（$\alpha$ 为常数），则称函数 $f(x)$ 的阶小于 $x^{\alpha}$，记为 $f(x) = o(x^{\alpha})$，这给出了一个严格的上界。
- 若当 $x \to \infty$ 时，$f(x)/x^{\alpha}$ 有界，即对于所有 $x > b$（$b$ 为常数），存在有限常数 $c$ 使得 $\left|\frac{f(x)}{x^{\alpha}}\right| \leq